Stone-Čech-Kompaktifizierung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Stone–Čech-Kompaktifizierung ist eine Konstruktion der Topologie zur Einbettung eines topologischen Raumes in einen kompakten Hausdorff-Raum. Die Stone–Čech-Kompaktifizierung eines topologischen Raumes ist der „größte“ kompakte Hausdorff-Raum, der als dichte Teilmenge „enthält“. Präzise ausgedrückt bedeutet das, dass jede Abbildung von in einen kompakten Hausdorff-Raum bezüglich eindeutig faktorisierbar ist. Wenn ein Tychonoff-Raum ist, dann ist die Abbildung eine Einbettung. Man kann sich also als dichten Unterraum von vorstellen.

Man benötigt das Auswahlaxiom (etwa in Form des Satzes von Tychonoff), um zu zeigen, dass jeder topologische Raum eine Stone–Čech-Kompaktifizierung besitzt. Auch für sehr einfache Räume ist es sehr schwer, eine konkrete Angabe von zu bekommen. Zum Beispiel ist es unmöglich, einen expliziten Punkt aus anzugeben.

Die Stone–Čech-Kompaktifizierung wurde von Marshall Stone (1937) und Eduard Čech (1937) unabhängig voneinander gefunden. Čech stützte sich auf Vorarbeiten von Andrei Nikolajewitsch Tichonow, der 1930 gezeigt hatte, dass sich jeder vollständig reguläre Raum in ein Produkt von abgeschlossenen Intervallen eingebettet werden kann. Die heute so genannte Stone–Čech-Kompaktifizierung ist dann der Abschluss der Einbettung. Stone betrachtete hingegen den Ring der stetigen, reellwertigen Funktionen auf einem topologischen Raum . Bei seiner Konstruktion ist die heutige Stone–Čech-Kompaktifizierung die Menge der Ultrafilter eines Verbands mit einer bestimmten Topologie.[1]

Universelle Eigenschaft und Funktorialität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist ein kompakter Hausdorff-Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung mit folgender universellen Eigenschaft: Für jeden kompakten Hausdorff-Raum und jede stetige Abbildung gibt es eine eindeutig bestimmte, stetige Abbildung , sodass .

Die Abbildung kann intuitiv als „Einbettung“ von in aufgefasst werden. ist genau dann injektiv, wenn ein vollständiger Hausdorff-Raum ist, und genau dann eine topologische Einbettung, wenn vollständig regulär ist. Die Abbildung kann in dieser Sprechweise als Fortsetzung von auf ganz aufgefasst werden.

Da selbst ein kompakter Hausdorff-Raum ist, folgt aus der universellen Eigenschaft, dass und bis auf einen natürlichen Homöomorphismus eindeutig bestimmt sind.

  • ist genau dann injektiv, wenn ein vollständiger Hausdorff-Raum ist.
  • ist genau dann eine topologische Einbettung, wenn ein Tychonoff-Raum ist.[2]
  • ist genau dann eine offene Einbettung, wenn ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist.
  • ist genau dann ein Homöomorphismus, wenn ein kompakter Hausdorff-Raum ist.

Manche Autoren nehmen an, dass der Ausgangsraum ein Tychonoff-Raum (oder auch ein lokalkompakter Hausdorff-Raum) sein soll. Die Stone–Čech-Kompaktifizierung kann für allgemeinere Räume konstruiert werden, jedoch ist die Abbildung keine Einbettung mehr, wenn kein Tychonoff-Raum ist, denn die Tychonoff-Räume sind gerade die Teilräume der kompakten Hausdorff-Räume.

Die Erweiterungseigenschaft macht aus einen Funktor von Top (die Kategorie der topologischen Räume) oder auch Tych (die Kategorie der Tychonoff-Räume) in CHaus (die Kategorie der kompakten Hausdorffräume). Wenn wir den Inklusionsfunktor von CHaus nach Top bzw. Tych setzen, erhalten wir, dass die stetigen Abbildungen von ( aus CHaus) in natürlicher Bijektion sind zu den stetigen Abbildungen (wenn man die Einschränkung auf betrachtet und die Universelle Eigenschaft von benutzt). Das heißt , was bedeutet, dass linksadjungiert zu ist.

Konstruktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion mittels Produkten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Möglichkeit die Stone-Čech-Kompaktifizierung von zu erzeugen ist, den Abschluss des Bildes von in

zu nehmen. Hierbei sei das Produkt über alle Abbildungen von in kompakte Hausdorff-Räume . Dies ist allerdings formal nicht durchführbar, da die Zusammenfassung aller solcher Abbildungen eine echte Klasse und keine Menge ist, dieses Produkt also gar nicht existiert. Es gibt verschiedene Wege, diese Idee so zu verändern, dass es funktioniert. Eine Möglichkeit ist, nur solche in das Produkt einzubeziehen, die auf einer Teilmenge von definiert sind. Die Kardinalität von ist größer gleich der Kardinalität jedes kompakten Hausdorff-Raumes, in welchen man mit dichtem Bild abbilden kann.

Konstruktion mit dem Einheitsintervall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Möglichkeit, zu konstruieren, besteht darin, die Abbildung

zu benutzen, wobei die Menge aller stetigen Abbildungen ist. Nach dem Satz von Tychonoff folgt nun, dass kompakt ist, da kompakt ist. Der Abschluss in ist also ein kompakter Hausdorff-Raum. Wir zeigen, dass dieser zusammen mit der Abbildung

die universelle Eigenschaft der Stone-Čech-Kompaktifizierung erfüllt.

Wir betrachten zunächst . In diesem Fall ist die gewünschte Fortsetzung von die Projektion auf die -Koordinate in .

Ist ein beliebiger kompakter Hausdorff-Raum, so ist er nach der obigen Konstruktion homöomorph zu . Die Injektivität der Einbettung folgt dabei aus dem Lemma von Urysohn, die Surjektivität und die Kontinuität der Inversen aus der Kompaktheit von . Es genügt nun, komponentenweise fortzusetzen.

Die in diesem Beweis benötigte universelle Eigenschaft des Einheitsintervalls ist, dass es ein Kogenerator der Kategorie der kompakten Hausdorff-Räume ist. Das bedeutet, dass es für zwei beliebige unterschiedliche Morphismen einen Morphismus gibt, sodass und unterschiedlich sind. Statt hätte man also jeden beliebigen Kogenerator oder jede kogeneriende Menge verwenden können.

Konstruktion mittels Ultrafiltern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diskrete Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist diskret, dann kann man als die Menge aller Ultrafilter auf mit der Stone-Topologie konstruieren. Die Einbettung von erfolgt dann, indem man die Elemente aus mit den Einpunktfiltern identifiziert. Diese Konstruktion stimmt für diskrete Räume mit der Wallman-Kompaktifizierung überein.

Wieder muss man die universelle Eigenschaft überprüfen: Sei ein Ultrafilter auf . Dann gibt es zu jeder Abbildung , mit kompakter Hausdorff-Raum, einen Ultrafilter auf . Dieser Ultrafilter hat einen eindeutigen Grenzwert , weil kompakt und hausdorff ist. Nun definiert man und man kann zeigen, dass dies eine stetige Fortsetzung von ist.

Äquivalent dazu kann man den Stone-Raum der vollständigen Booleschen Algebra aller Teilmengen von als die Stone-Čech-Kompaktifizierung nehmen. Dies ist wirklich dieselbe Konstruktion, da der Stone-Raum dieser Booleschen Algebra die Menge der Ultrafilter oder äquivalent der Primideale (oder Homomorphismen in die zweielementige Boolesche Algebra) der Booleschen Algebra ist, was dasselbe ist wie die Menge der Ultrafilter auf .

Allgemeine Tychonoff-Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein beliebiger Tychonoff-Raum, so nimmt man statt aller Teilmengen nur die -Mengen von , um den Zusammenhang mit der Topologie zu erhalten:[3]

Ist eine stetige Funktion, dann heißt die z-Menge von . Mit wird die Menge aller -Mengen von bezeichnet, d.h. .

Die -Mengen sind durch die Teilmengenrelation geordnet und man kann wie üblich Filter definieren. Ein -Ultrafilter ist ein maximaler Filter.

Bezeichnet man mit die Menge aller Ultra-Filter auf mit der Topologie, die durch die -Mengen von erzeugt wird, dann gilt: Da für jeden Punkt von wegen der Tychonoff-Eigenschaft eine -Menge ist, ist ein -Ultrafilter. Daher ist die Abbildung mit eine Einbettung. Man zeigt dann noch, dass der konstruierte Raum ein kompakter Hausdorffraum ist und dass das Bild von dicht darin ist. Dass gilt, folgt schließlich aus der Tatsache, dass jede beschränkte Funktion sich fortsetzen lässt.

Konstruktion mittels C*-Algebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn ein vollständig regulärer Raum ist, kann man die Stone-Čech-Kompaktifizierung mit dem Spektrum von identifizieren. Hier steht für die kommutative C*-Algebra aller stetigen und beschränkten Abbildungen mit der Supremumsnorm. Das Spektrum ist die Menge der multiplikativen Funktionale mit der Teilraumtopologie der schwach-*-Topologie des Dualraums von , beachte . Für jedes ist ein multiplikatives Funktional. Identifiziert man mit , so erhält man , und man kann zeigen, dass homöomorph zur Stone–Čech Kompaktifizierung ist.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2001, S. 334.
  2. Nicolas Bourbaki: Éléments de mathématique. Topologie Générale. Ch. 1/4. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-33936-6, Kap. 9, S. 10.
  3. siehe Leonard Gillman, Meyer Jerison: Rings of Continuous Functions. van Nostrand Reinhold, New York NY u. a. 1960, § 8, für die gesamte Konstruktion.