Punktsymmetrie

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Punktsymmetrische Objekte in der Ebene

Die Punktsymmetrie, auch Zentralsymmetrie,[1] ist in der Geometrie eine Eigenschaft einer Figur. Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie durch die Spiegelung an einem Symmetriepunkt auf sich selbst abgebildet wird.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine (ebene) geometrische Figur (zum Beispiel ein Viereck) heißt punktsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung gibt, die diese Figur auf sich abbildet. Der Punkt, an dem diese Spiegelung erfolgt, wird als Symmetriezentrum bezeichnet.[2]

Punktspiegelung als Drehung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Ebene (zweidimensionaler Raum) entspricht die Punktspiegelung einer Drehung der geometrischen Figur um 180°. Hier ist die Punktsymmetrie ein Spezialfall der Drehsymmetrie.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Bei einem Viereck liegt Punktsymmetrie (in sich) genau dann vor, wenn es sich um ein Parallelogramm handelt. Das Symmetriezentrum ist dann der Schnittpunkt der Diagonalen. Als Spezialfälle des Parallelogramms sind Rechteck, Raute und Quadrat punktsymmetrisch.
  • Jeder Kreis ist (in sich) punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.
  • Zwei Kreise mit gleichem Radius sind zueinander punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkte.
  • Mehrere Symmetriezentren kann es nur geben, wenn die Figur nicht beschränkt ist. Das einfachste Beispiel ist die Gerade. Sie hat sogar unendlich viele Symmetriezentren.
  • Ein Dreieck ist niemals punktsymmetrisch. Es können aber zwei Dreiecke zueinander punktsymmetrisch sein.

Punktsymmetrie von Funktionsgraphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Überblick[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Punktsymmetrischer Funktionsgraph

Eine in der Schulmathematik häufige Aufgabenstellung besteht darin nachzuweisen, dass der Graph einer gegebenen Funktion mit dem Definitionsbereich und den reellen Zahlen als Wertebereich punktsymmetrisch ist.

Existiert ein Punkt sodass für die Funktion die Gleichung

für alle gilt, dann ist die Funktion punktsymmetrisch zum Punkt Die genannte Bedingung ist mit

gleichwertig, wie die Substitution zeigt. Im Spezialfall von Punktsymmetrie um dem Ursprung vereinfacht sich diese Gleichung zu

Ist sie für alle x gültig, liegt Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vor. Dann nennt man die Funktion ungerade Funktion.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kurve von f(x) = 2x5

Gegeben sei die Funktion Dann gilt:

Also ist der Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Ursprung (0,0).

Punktsymmetrie zum Punkt (0,2)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kurve von f(x) = 2x5 + 2

Gegeben sei die Funktion Wähle und Dann gilt:

Folglich ist der Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Punkt und es gilt

Um den Symmetriepunkt zu bestimmen, hilft dieses Verfahren nicht. Meist reicht es jedoch, den Funktionsgraphen zu zeichen und daraus eine Vermutung bezüglich des Symmetriepunktes abzuleiten.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Meyers großes Taschenlexikon in 24 Bänden. BI-Taschenbuchverlag 1992, Band 21, S. 258
  2. Arnfried Kemnitz: Mathematik zum Studienbeginn. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-8258-5, S. 144.