Raute

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Dieser Artikel beschreibt eine geometrische Form. Für weitere Bedeutungen, siehe Raute (Begriffsklärung)
Eigenschaften einer Raute

Eine Raute ist ein ebenes Viereck mit vier gleichlangen Seiten. Der Plural lautet Rauten und synonym ist der Begriff Rhombus (Plural: Rhomben). Gegenüberliegende Seiten sind parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß.

Bezeichnungen und Darstellungen[Bearbeiten]

Neben Raute und Rhombus wird manchmal auch der Ausdruck „Karo“ verwendet. Insbesondere findet dieser Ausdruck seine Anwendung als Webmuster bei Textilien, wie beim Karomuster der Tartans.

Die Raute ist eine Spezialform des Parallelogramms. Ein Spezialfall der Raute wiederum ist das Quadrat, das, auf der Spitze stehend, manchmal ebenfalls verallgemeinernd als Raute bezeichnet wird. Das hat seine Ursache darin, dass mit dem Begriff Quadrat manchmal nur seine kantenparallele Darstellung im Bezugssystem assoziiert wird. Im Extremfall der Spitzendarstellung wird es dann als ein anderes Objekt angesehen und bekommt somit auch einen anderen Namen.

Raute als Symbol und Schriftzeichen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Raute (Heraldik) und Raute (Symbol)

In der Heraldik heißen rautenförmige Elemente auch Wecke und Spindel, das auf die Spitze gestellte Quadrat auch Kantenwürfel.

Rautenformen als Schriftzeichen finden sich in Unicode im Block Geometrische Formen, beispielsweise ◆ (U+25C6 black diamond „vollflächiges Karo“), ◇ (U+25C7 white diamond „hohles Karo“) und ◊ (U+25CA lozenge „Rhombus“).

„Raute“ bezeichnet auch das Symbol ⌗ (U+2317 viewdata square) auf der Telefontastatur, das gemäß der Empfehlung ITU-T E.161 der Internationalen Fernmeldeunion wahlweise als Quadrat oder als Raute mit Innenwinkel links unten 80° mit an den Ecken um je 8–18 % über die Kantenlänge dieser Form hinausgehenden Linien darzustellen ist. In Anlehnung an diese Bezeichnung wird auch das ähnliche Doppelkreuz # (U+0023 number sign) häufig so benannt,[1] auch wenn dessen Inneres in gängigen Schriftarten lediglich ein Parallelogramm, jedoch nicht exakt eine geometrische Raute darstellt.

Geometrie[Bearbeiten]

Beispiel eines Rhombus

Eine Raute oder Rhombus ist ein ebenes Viereck mit vier gleich langen Seiten (gleichseitiges Viereck).

Folgerungen:

Die Raute ist allgemeiner ein Drachenviereck mit paarweise parallelen Seiten. Eine Raute, für die man einen rechten Winkel fordert, ist schon ein Quadrat. Um eine Raute zu konstruieren, sind zwei Bestimmungsstücke (wie die Seitenlänge a und einer der beiden Winkel) notwendig.

Formeln zur Raute (zum Rhombus)
Flächeninhalt A \, = \frac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{BD}

A \, = \, a \cdot h_a = b \cdot h_b
A \, = \, a^2 \cdot \sin\alpha = a^2 \cdot \sin\beta

Umfang u \, = \, 4 \cdot a
Diagonalenlänge e \, = \, 2 \cdot a \cdot \cos\frac{\alpha}{2}
= 2 \cdot a \cdot \sin\frac{\beta}{2}
Diagonalenlänge f \, = \, 2 \cdot a \cdot \sin\frac{\alpha}{2}
= 2 \cdot a \cdot \cos\frac{\beta}{2}
Inkreisradius \rho \, = \, \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sin\alpha
Länge einer Seite a\, = \, \sqrt{\left(\frac{e}{2}\right )^2+\left(\frac{f}{2}\right )^2 }
Größe des Innenwinkels bei A \alpha\,
Größe des Innenwinkels bei B \beta\,
Diagonalenlängen e = \overline{AC}; \quad f = \overline{BD}

Kombinationen mehrerer Rauten[Bearbeiten]

Zum Stern („Rautenstern“) schließen sich nur diejenigen Rhomben, die die Bedingung erfüllen, dass der Zentriwinkel, also der Winkel in der Spitze, in der man sie aneinanderlegt, gleich \frac{360^\circ}{n} für eine natürliche Zahl n ist. Sie bilden dann einen n-zackigen Stern. Das gilt nicht für den dreidimensionalen Fall, hierbei lassen sich auch anderswinklige Rhomben in ihrer Spitze aneinanderfügen, und ergeben dann pyramidenförmige Spitzen.

Kachelungen[Bearbeiten]

Durch seine Definition eignet sich jeder Rhombus für eine flächendeckende Kachelung, aber nur in zwei Hauptrichtungen (platonische Parkettierung). Hier bildet die Rautenparkettierung (mit ihrer Sonderform, dem Quadratgitter, also einem orthogonalen Raster) eine der 17 möglichen Symmetriegruppen der Parkettierungen.[2]

Eine solche Kachelung (flächenfüllende, schiefwinklig-platonische Kachelung) findet sich auf der Staatsflagge Bayerns (Rautenflagge), heraldische Fachsprache: schräg gerautet.

Eine Besonderheit ist die aperiodische (quasikristalline) Penrose-Parkettierung zweier Rauten mit 36°/144° und 72°/108°.

Polyeder[Bearbeiten]

Rhomboeder, Rhombendodekaeder und Rhombentriakontaeder sind Polyeder, deren Körper ausschließlich von Rauten begrenzt sind.

Praktische Anwendungen[Bearbeiten]

  • Rautensterne wirken neutral, Sterne aus Trapezen spitz, also dynamisch, wenn die lange Halbdiagonale außen liegt, andernfalls stumpf. Das wird im Dekorationswesen bewusst verwendet.
  • Das Rhombendach ist aus vier rautenförmigen Dachflächen zusammengesetzt. Es erlaubt zu quadratischen Grundrissen um 45 Grad versetzte Dachschrägen. Es hat gute Wasserableiteigenschaften, da Regenwasser nicht über die Portale abfließt, sondern an den unteren Spitzen abtropft, und braucht nur eine Nagelung an der oberen Spitze. Es eignet sich für Flachformplatten wie Faserzement oder Blech- und Holzschindeln.
  • Bei der Rhombus- oder Rautenschalung handelt es sich im mathematisch strengen Sinne meist nicht um rautenförmige Holzprofile, sondern um Parallelogramme. Der Querschnitt der liegend montierten Schal-Latten bildet eine definierte Tropfkante.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Raute. Duden, abgerufen am 23. Juni 2015.: „Bedeutungen: 1. Rhombus; 2. (EDV, Telefonie) Kurzform für Rautezeichen“Rautezeichen. Duden, abgerufen am 23. Juni 2015.: „Zeichen in einem Text, auf einer Tastatur, das [aus] einem Kreuz aus zwei waagrechten und zwei schrägen senkrechten Strichen besteht: #; Kurzform: Raute“
  2. Bewiesen von Jewgraf S. Fedorow 1891, nach Ian Stewart: Fünfeckige Kacheln. In: Spektrum der Wissenschaft, Januar 2000, S. 106–108 (Abb. S. 108).