Parallelogramm

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01-Parallelogramm.svg

Ein Parallelogramm (von griech. παραλληλό-γραμμος paralleló-grammos „von zwei Parallelenpaaren begrenzt“) oder Rhomboid (rautenähnlich) ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind.

Parallelogramme sind spezielle Trapeze und zweidimensionale Parallelepipede. Rechteck, Raute (Rhombus) und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein nicht ausgeartetes Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

  • Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes Antiparallelogramm).
  • Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
  • Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
  • Die Diagonalen halbieren einander.
  • Es ist punktsymmetrisch (zweizählig drehsymmetrisch).

Für jedes Parallelogramm gilt:

Alle Parallelogramme, die mindestens eine Symmetrieachse besitzen, sind entweder Rechtecke oder Rauten.

Formelsammlung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bezeichnungen am Parallelogramm
Formeln zum Parallelogramm
Seitenlängen
Innenwinkel
Flächeninhalt


Über Transformation in Rechteck mit der Determinante:

Höhe zu a
Höhe zu b
Diagonalen

(Kosinussatz)

Parallelogrammgleichung

Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vom großen Rechteck werden sechs Teilflächen abgezogen.
Animation zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms.
Der Flächeninhalt ist gleich dem Produkt der Länge einer Grundseite mit der zugehörigen Höhe .

Die Fläche des nebenstehenden schwarzen Parallelogramms kann man erhalten, indem man von der Fläche des großen Rechtecks die sechs kleinen Flächen mit bunten Kanten abzieht. Wegen der Symmetrie und der Vertauschbarkeit der Multiplikation kann man auch vom großen Rechteck das Doppelte der drei kleinen Flächen unterhalb des Parallelogramms abziehen. Es ist also:

Konstruktion eines Parallelogramms[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Parallelogramm, bei dem die Seitenlängen und sowie die Höhe gegeben ist, ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Parallelogramm mit den gegebenen Seitenlängen und sowie der Höhe . Für die Konstruktion des rechten Winkels ist der Punkt frei wählbar.
Animation am Ende mit einer Pause 10 s.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Verallgemeinerung auf Dimensionen ist das Parallelotop , erklärt als die Menge sowie deren Parallelverschiebungen. Die sind dabei linear unabhängige Vektoren.

Verwendung in der Technik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Parallelogramme finden sich häufig in der Mechanik. Durch vier Gelenke kann eine bewegliche, parallelentreue Lagerung hergestellt werden, die sogenannte Parallelogrammführung. Beispiele:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • F. Wolff: Lehrbuch der Geometrie. Vierte verbesserte Auflage, Druck und Verlag von G. Reimer, Berlin 1845 (Online-Kopie).
  • P. Kall: Lineare Algebra für Ökonomen. Springer Fachmedien, Wiesbaden 1984, ISBN 978-3-519-02356-2.
  • Wilhelm Killing:Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft mbH, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Parallelogramm – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Parallelogramm – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Wiktionary: Rhomboid – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen