Pushforward

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Dieser Artikel behandelt den Pushforward einer differenzierbaren Abbildung als Abbildung zwischen Tangentialräumen. Für den Pushforward eines Faserbündels in der Kohomologie siehe Gysin-Sequenz.

Als Pushforward wird eine Abbildung zwischen Tangentialräumen glatter Mannigfaltigkeiten bezeichnet, die die im euklidischen Raum definierte Richtungsableitung verallgemeinert.

Das duale Konzept heißt meist Rücktransport (Pullback).

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und glatte Mannigfaltigkeiten und ist eine glatte Abbildung, so definiert man den Pushforward

von am Punkt durch

für und jede glatte Funktion auf der Mannigfaltigkeit N. Hierbei werden Tangentialvektoren als Richtungsableitungen (Derivationen) aufgefasst, vgl. Tangentialraum.

Auf diese Weise wird eine Abbildung definiert.

Bezeichnungen und Schreibweisen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Andere Bezeichnungen für den Pushforward sind Ableitung, Differential und Tangentialabbildung von . Andere Schreibweisen sind , , , , und . Oft werden die Klammern um das Argument auch weggelassen.

Bedeutung für Tangentialvektoren von Kurven[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist der Tangentialvektor einer differenzierbaren Kurve (hierbei ist ein Intervall in ) im Punkt , so ist der Tangentialvektor der Bildkurve im Bildpunkt , also

.

Darstellung in Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind lokale Koordinaten auf um und lokale Koordinaten auf um den Bildpunkt so haben die Vektoren und die Darstellungen

bzw. .

Wird weiter die Abbildung durch die Funktionen dargestellt, so gilt

.

Pushforward im euklidischen Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Liegt der Spezialfall vor, so stellt nichts anderes als die totale Ableitung dar, wobei der euklidische Raum in natürlicher Weise mit seinem Tangentialraum identifiziert wird (die Unterscheidung zwischen Richtungsableitung und totaler Ableitung spielt hier keine Rolle, da die Funktion bereits als hinreichend glatt vorausgesetzt ist).

Oft wird der Tangentialraum des euklidischen Raums im Punkt mit identifiziert, das Tangentialbündel also mit . In diesem Fall ist der Pushforward die Abbildung .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Pushforward einer Verkettung zweier Abbildungen und gilt die Kettenregel:

bzw. punktweise

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.