Rücktransport

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In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik bezeichnet man als Pullback oder Rücktransport (auch: Zurückziehung, Rückzug) Konstruktionen, die ausgehend von einer Abbildung und einem Objekt , das in irgendeiner Weise zu gehört, ein entsprechendes, „entlang von zurückgezogenes“ Objekt für liefern; es wird häufig mit bezeichnet.

Das duale Konzept heißt meist Pushforward.

In der Kategorientheorie ist Pullback eine andere Bezeichnung für das Faserprodukt. Das duale Konzept wird hier Pushout, cokartesisches Quadrat oder Fasersumme genannt.

Motivation: Der Rücktransport einer glatten Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Diffeomorphismus zwischen glatten Mannigfaltigkeiten und sei eine glatte Funktion auf . Dann ist der Rücktransport von bezüglich definiert durch

mit

Der Rücktransport ist also eine glatte Funktion .

Schränkt man die Funktion auf eine offene Teilmenge ein, so erhält man ebenso eine glatte Funktion auf . Der Rücktransport ist also ein Morphismus zwischen den Garben der glatten Funktionen von und .

Der Rücktransport eines Vektorbündels[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und topologische Räume, ein Vektorbündel über und eine stetige Abbildung. Dann ist das zurückgezogene Vektorbündel definiert durch

zusammen mit der Projektion .[1] Meist notiert man dieses Vektorbündel mittels und nennt es auch Pullbackbündel von bezüglich .

Ist ein Schnitt im Vektorbündel , so ist der zurückgezogene Schnitt, der durch

für alle gegeben ist.

Das zurückgezogene Vektorbündel ist ein Spezialfall eines Faserproduktes. Im Bereich der Differentialgeometrie werden meist glatte Mannigfaltigkeiten anstatt beliebiger topologischer Räume und betrachtet. Dann wird auch zusätzlich gefordert, dass die Abbildung und das Vektorbündel differenzierbar sind.

Dualer Operator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und zwei Vektorbündel und eine stetige Abbildung, so dass der entsprechende Rücktransport ist. Der duale Operator des Rücktransports ist der Pushforward von .

Rücktransport bestimmter Objekte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Abschnitt sind und glatte Mannigfaltigkeiten und sei eine glatte Abbildung.

Glatte Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Menge der glatten Funktionen kann auf natürliche Weise mit dem Vektorraum der glatten Schnitte im Vektorbündel aufgefasst werden.[2] Entsprechend kann der Rücktransport einer glatten Funktion auch als Rücktransport eines glatten Schnittes des Vektorbündels aufgefasst werden.

Differentialformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die Menge der Differentialformen ein Vektorbündel bilden, kann man den Rücktransport einer Differentialform untersuchen.

Ist eine differenzierbare Abbildung und eine k-Form auf , so ist die auf zurückgezogene Differentialform , die im Fall von 1-Formen durch

für Tangentialvektoren im Punkt gegeben.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Otto Forster: Riemannsche Flächen (= Heidelberger Taschenbücher 184). Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1 (Englisch: Lectures on Riemann Surfaces (= Graduate Texts in Mathematics 81). Corrected 2nd printing. ebenda 1991, ISBN 3-540-90617-7).
  • R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Allen Hatcher: Vector Bundles & K-Theory. Version 2.1, May 2009, S. 18 online (PDF; 1,11 MB).
  2. John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S.111.