Derivation (Mathematik)

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In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik bezeichnet man Abbildungen als Derivationen, wenn sie die Leibnizregel erfüllen. Das Konzept der Derivationen ist eine Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten Ableitung.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein kommutativer Ring mit Eins, beispielsweise ein Körper wie oder . Außerdem sei eine -Algebra. Eine (-lineare) Derivation von ist eine -lineare Abbildung , die

für alle

erfüllt. Die Eigenschaft -linear besagt, dass für alle und die Gleichungen

und

gelten. Die Definition schließt Ringe ein, indem man sie als -Algebren auffasst. Bildet in einen Modul oder Bimodul ab, so kann man die Definition analog angeben.

Allgemeine Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist eine Algebra mit Einselement , so gilt . Damit gilt auch für alle .
  • Der Kern einer Derivation ist eine Unteralgebra.
  • Die Menge der Derivationen von mit Werten in bildet mit dem Kommutator eine Lie-Algebra: Sind und Derivationen, so auch
  • Für ein Element ist , , eine Derivation. Derivationen dieses Typs heißen innere Derivationen. Die Hochschild-Kohomologie ist der Quotient des Moduls der Derivationen nach dem Untermodul der inneren Derivationen.
  • In einer kommutativen Algebra gilt für alle und alle nichtnegativen ganzen Zahlen .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Ableitung reeller Funktionen ist eine Derivation. Dies besagt die Produktregel.
  • Für ist die formale Ableitung
eine -lineare Derivation von mit Werten in .
  • Sei eine Mannigfaltigkeit. Dann ist die Cartan-Ableitung eine -lineare Derivation von mit Werten im Raum der 1-Formen auf .
  • Eine der Umformulierungen der Jacobi-Identität für Liealgebren besagt, dass die adjungierte Darstellung durch Derivationen operiert:

Derivationen und Kähler-Differentiale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Per definitionem werden -lineare Derivationen einer kommutativen Algebra durch den Modul der Kähler-Differentiale klassifiziert, d.h. es gibt eine natürliche Bijektion zwischen den -linearen Derivationen von mit Werten in einem -Modul und den -linearen Abbildungen . Jede Derivation entsteht als Verkettung der universellen Derivation mit einer -linearen Abbildung .

Antiderivationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine - oder -graduierte -Algebra, so heißt eine -lineare graduierte Abbildung eine Antiderivation, wenn

für alle homogenen Elemente gilt; dabei bezeichnet den Grad von .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]