„Quadratische Funktion“ – Versionsunterschied
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Die Zuordnungsvorschrift der allgemeinen quadratischen Funktion ist <math>x \mapsto a |
Die Zuordnungsvorschrift der allgemeinen quadratischen Funktion ist <math>x \mapsto a l^2 +ä ü + q</math>. Ist <math>a = 1, b = 0</math> und <math>c = 0</math> so erhält man die Quadratfunktion. Die [[Koeffizient]]en <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> bestimmen den Wertebereich und die Form des Graphen. Analog lassen sich quadratische Funktionen mehrerer Variablen erklären, siehe dazu [[Quadrik]]. |
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=== Penis a === |
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Wie der Wert von <math>a</math> die Form des Graphen verändert, kann man am besten erkennen, wenn man <math>b = 0</math> und <math>c = 0</math> setzt. Man erhält dann eine [[Normalparabel]] mit einem Faktor vor <math>x^2</math>. |
Wie der Wert von <math>a</math> die Form des Graphen verändert, kann man am besten erkennen, wenn man <math>b = 0</math> und <math>c = 0</math> setzt. Man erhält dann eine [[Normalparabel]] mit einem Faktor vor <math>x^2</math>. |
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:<math>a > 0</math>: der Graph ist nach oben geöffnet. |
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* Bestimmung des Scheitelpunktes über die Scheitelform der Funktion |
* Bestimmung des Scheitelpunktes über die Scheitelform der Funktion |
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Version vom 11. Februar 2010, 14:53 Uhr
Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion 2. Grades oder Polynom 2. Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form
- mit
ist. Der Graph ist die Parabel mit der Gleichung . Für ergibt sich eine lineare Funktion.
Die allgemein schwule Funktion
Die Zuordnungsvorschrift der allgemeinen quadratischen Funktion ist Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle x \mapsto a l^2 +ä ü + q} . Ist und so erhält man die Quadratfunktion. Die Koeffizienten , und bestimmen den Wertebereich und die Form des Graphen. Analog lassen sich quadratische Funktionen mehrerer Variablen erklären, siehe dazu Quadrik.
Penis a
Wie der Wert von die Form des Graphen verändert, kann man am besten erkennen, wenn man und setzt. Man erhält dann eine Normalparabel mit einem Faktor vor .
'FK[[L
Üarshleckaberschrift
ink-Text]]ursiver Textetter Text'.
- : der Graph ist nach unten geöffnet.
- : der Graph ist gestaucht, d. h. in der Länge zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint und flacher ist.
- : der Graph ist gestreckt, d. h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint und steiler ist.
Für : ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der x-Achse gespiegelt.
-
Positives und negatives a
-
Stauchung bei a<1
-
Streckung bei a>1
Parameter c
Eine Veränderung des Parameters c bewirkt eine Verschiebung in y-Richtung. Wird um eins erhöht, dann wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben. Wird um eins verringert, wird der Graph dagegen um eine Einheit nach unten verschoben.
Parameter b
Eine Veränderung des Parameters bewirkt eine Verschiebung sowohl in x- als auch in y-Richtung. Wird um eins erhöht, dann wird der Graph um Einheiten nach links und nach unten verschoben. Wird um eins verringert, wird der Graph dagegen um Einheiten nach rechts und nach oben verschoben.
Am Parameter kann man auch erkennen, mit welcher Steigung die Parabel die y-Achse schneidet. Insbesondere ist zu erkennen, ob die y-Achse mit dem fallenden oder dem ansteigenden Ast der Parabel geschnitten wird. Daraus lassen sich wiederum Rückschlüsse über die Zahl und die mögliche Lage von Nullstellen ziehen.
Scheitelpunktsbestimmung
Der Scheitelpunkt ist maßgeblich für die Lage der Parabel und repräsentiert entweder das absolute Minimum (falls positiv ist) oder das absolute Maximum (wenn negativ ist). Die Koordinaten des Scheitelpunkts lassen sich direkt ablesen, wenn der Funktionsterm in die Scheitelpunktsform umgeformt wird:
- .
Der Scheitelpunkt hat dann die Koordinaten . Der Graph ist achsensymmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse durch .
Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Scheitelpunktes bietet die Differentialrechnung. Da der Scheitelpunkt immer eine (lokale) Extremstelle (Maximum bzw. Minimum) ist, liefert die Nullstelle der ersten Ableitung der Funktion den x-Wert des Scheitelpunktes:
- ,
Durch Einsetzen ergibt sich der y-Wert:
- Beispiel
Bestimmung des Scheitelpunkts aus der quadratischen Funktion .
- Bestimmung des Scheitelpunktes über die Scheitelform der Funktion
Hodensack
|----- | | Die ursprüngliche Funktionsgleichung |----- | | Der Faktor a vor dem x 2 wurde ausgeklammert, wobei der Summand +5 ausgeschlossen bleibt |----- | | Es wird eine quadratische Ergänzung zu x 2 + 2x durchgeführt |----- | | Durch die quadratische Ergänzung ist es leicht möglich aus einem Teil des Terms ein Quadrat heraus zu ziehen |----- | | Nun wurde noch die Klammer mit dem Faktor 2 wieder aufgelöst, um den Term zu vereinfachen |----- | | In der Endform lässt sich nun der Scheitelpunkt ablesen. |}
- Bestimmung des Scheitelpunktes mit Hilfe der Differentialrechnung
Die ursprüngliche Funktionsgleichung | |
Die 1. Ableitung der Funktion | |
Bestimmung der Nullstelle der 1.Ableitung durch Gleichsetzen mit Null | |
x einsetzen in f(x) | |
y berechnen |
Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten .
Nullstellen einer quadratischen Funktion
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion ergeben sich durch Lösung der Gleichung f(x)=0 , das heißt der quadratischen Gleichung .
Veranschaulichung der quadratischen Funktion durch einen Kegelschnitt
Der Graph jeder quadratischen Funktion (eine Parabel) lässt sich geometrisch als Schnitt einer Ebene mit einem Kegel darstellen. Genaueres dazu unter Kegelschnitt.
Brennpunkt der zugehörigen Parabel
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel und besitzt somit einen Brennpunkt. Dies wird bei einem Parabolspiegel praktisch genutzt. Mit einem solchen Spiegel kann man Fernsehprogramme empfangen oder mit Sonnenenergie möglichst hohe Temperaturen erzeugen. Siehe auch Parabel (Mathematik).
Der Brennpunkt der Parabel mit der Gleichung ist .
Weitere Eigenschaften quadratischer Funktionen
Achsenschnittpunkte
Datei:Zqfkt 01.gif - Der Schnittpunkt des Graphen mit der y - Achse ist
- Der Schnittpunkt des Graphen mit der x - Achse ist
- für i = 1 ; 2
Scheitelpunktberechnung mittels bekannter Nullstellen
Sind die Nullstellen der quadratischen Funktion bekannt, dann lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes wie folgt berechnen:
p - q - Formel, Diskriminante und Lösungsmenge
Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet:
- p - q - Formel:
- Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt:
- Mit dieser vereinfacht sich die Lösungsformel zu :
- Der Diskriminante kann man die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung entnehmen.
- Zwei Lösungselemente
- Ein Lösungselement (Doppellösung)
- Kein Lösungselement
Der Satz von Vieta
Sind Lösungen der quadratischen Gleichung so können diese mit dem Wurzelsatz von Vieta und überprüft werden.
Nullstellen und Linearfaktoren
Sind und die Nullstellen der quadratischen Funktion , so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben:
Schnittpunkt von Parabel und Gerade
sei die Funktionsgleichung einer Parabel und die einer Geraden. Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen quadratische Gleichung. Falls nun:
- Die Parabel und die Gerade schneiden sich in zwei Punkten.
- Die Parabel und die Gerade berühren sich in einem Punkt.
- Die Parabel und die Gerade haben keinen Schnittpunkt.
Schnittpunkt zweier Parabeln
seien die Funktionsgleichungen zweier Parabeln. Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen quadratische Gleichung. Falls nun:
- Die Parabeln schneiden sich in zwei Punkten.
- Die Parabeln berühren sich in einem Punkt.
- Die Parabeln haben keinen Schnittpunkt.
- ist eine lineare Gleichung Die Parabeln haben einen Schnittpunkt.