Quandle

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In der Mathematik sind Quandle eine algebraische Struktur, die vor allem in der Knotentheorie Anwendung findet.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Quandle ist eine Menge mit einer Operation , so dass für alle gilt:

(i)
(ii) die durch definierte Abbildung ist eine Bijektion
(iii) .

Bedingung (iii) heißt Selbstdistributivität.

Weil eine Bijektion ist, gibt es eine inverse Abbildung . Die Operation wird für durch

definiert.

Reidemeister-Bewegungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Quandle-Operationen lassen sich mittels der Reidemeister-Bewegungen von Knotendiagrammen interpretieren:

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jede abelsche Gruppe ist ein Quandle mit der Operation
.
  • Für eine Gruppe und definiert man den Quandle als die Menge mit der Operation
.
  • Für eine Gruppe definiert man den Quandle als die Menge mit der Operation
.
  • Jeder -Modul ist ein Quandle mit der Operation
.
Diese Quandle werden als Alexander-Quandle bezeichnet.
  • Der Fundamentalquandle eines Knotens (oder allgemeiner einer Verschlingung) ist definiert wie folgt. Sei das Komplement einer regulären Umgebung und . Definiere
mit der (wohldefinierten) Verknüpfung
,
wobei den Meridian durch bezeichnet.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • David Joyce: A classifying invariant of knots, the knot quandle. J. Pure Appl. Algebra 23 (1982), no. 1, 37–65.
  • Sergei Matwejew: Distributive groupoids in knot theory. (russisch) Mat. Sb. (N.S.) 119(161) (1982), no. 1, 78–88, 160.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]