Quantengruppe

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Als Quantengruppe bezeichnet man in der mathematischen Gruppentheorie eine bestimmte Gattung von Hopf-Algebren, nämlich Quantisierungen (d. h. nicht-triviale Deformationen) der einhüllenden Hopf-Algebren von halbeinfachen Lie-Algebren. Alternativ kann man Quantengruppen als Deformationen von der Algebra der regulären Funktionen auf algebraischen Gruppen betrachten.

Der Begriff wurde im Rahmen der International Congress of Mathematicians 1986 in Berkeley von dem ukrainischen Mathematiker Vladimir Gershonovich Drinfeld geprägt. Unabhängig von ihm wurden sie von Michio Jimbō um die gleiche Zeit gefunden.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die einfachste Quantengruppe ist . Dies ist die Algebra, die von den Variablen , , und erzeugt wird und in der die Relationen

,
,
,

gelten.

Die Hopfalgebra-Struktur ist gegeben durch

,
,
,
,
,
,
,
,
,
.

und sind folglich schiefprimitiv, und und sind gruppenähnlich.

Universelle einhüllende Algebra [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist in dieser Form nicht definiert, da man dabei durch 0 teilen müsste. Es ist jedoch möglich, die Definition mit Hilfe einer weiteren Variable so zu formulieren, dass dies möglich ist.

,
,
,

In dieser Form ist wohldefiniert und hängt eng mit der universellen einhüllenden Algebra zusammen. Es gilt nämlich

,

wobei auf , auf und auf abgebildet wird.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Christian Kassel: Quantum Groups (Graduate Texts in Mathematics). Springer-Verlag 1998, ISBN 0-387-94370-6 (englisch)