Algebraische Gruppe

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Der mathematische Begriff der algebraischen Gruppe stellt die Synthese aus Gruppentheorie und algebraischer Geometrie dar. Ein zentrales Beispiel ist die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten über einem festen Körper, d.h. eine Varietät über einem Körper zusammen mit

  • einem Morphismus (Multiplikation)
  • einem Morphismus (inverses Element)
  • und einem ausgezeichneten Punkt (neutrales Element),

so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • Assoziativgesetz: ;
  • neutrales Element: ;
  • inverses Element: ; dabei ist die Inklusion der Diagonale und der Strukturmorphismus.

Diese Bedingungen sind äquivalent zu der Forderung, dass für jedes -Schema auf der Menge der -wertigen Punkte die Struktur einer (gewöhnlichen) Gruppe definieren.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die additive Gruppe : mit der Addition als Gruppenstruktur. Insbesondere für ist die affine Gerade mit der Addition.
  • Die multiplikative Gruppe : mit der Multiplikation als Gruppenstruktur. Insbesondere für ist die offene Teilmenge mit der Multiplikation.
  • Die allgemeine lineare Gruppe : ; dabei bezeichnet die rechte Seite die Gruppe der invertierbaren -Matrizen mit Einträgen im Ring . kann mit identifiziert werden.
  • Der Kern eines Morphismus algebraischer Gruppen ist wieder eine algebraische Gruppe. Zum Beispiel ist eine algebraische Gruppe.
  • Elliptische Kurven oder allgemeiner abelsche Varietäten.
  • Zariski-abgeschlossene Untergruppen algebraischer Gruppen sind wieder algebraische Gruppen. Zariski-abgeschlossene Untergruppen von werden als lineare algebraische Gruppen bezeichnet. Wenn eine algebraische Gruppe eine affine Varietät ist, dann ist sie eine lineare algebraische Gruppe.
  • Unipotente algebraische Gruppen.

Satz von Chevalley[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede algebraische Gruppe über einem Körper der Charakteristik 0 ist (auf eindeutige Weise) eine Erweiterung einer abelschen Varietät durch eine lineare algebraische Gruppe.[1] Das heißt zu jeder algebraischen Gruppe gibt es eine maximale lineare algebraische Untergruppe , diese ist normal und der Quotient ist eine abelsche Varietät:

.

Die Abbildung ist die Albanese-Abbildung.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Conrad: Satz von Chevalley (PDF-Datei; 233 kB)

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Algebraic Groups von James S. Milne