Quantisierungsfehler

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Der Quantisierungsfehler oder die Quantisierungsabweichung ist der Fehler, der bei der Quantisierung von analogen Größen entsteht (z. B. bei der Analog-Digital-Umsetzung).

Oben: Ursprüngliches (blau) und quantisiertes Signal (rot).
Unten: Der Quantisierungsfehler.

Während analoge Signale dem Wertebereich der reellen Zahlen genügen, werden in der digitalen Darstellung nur diskrete Werte verwendet. Daher ist mit der Quantisierung eine Rundung verbunden, die einen Fehler verursacht.

Definition[Bearbeiten]

Oben: Grenzfälle einer digitalen Darstellung anstelle einer analogen. Beide linear gestufte Kennlinien beginnen bei \scriptstyle U=0 mit \scriptstyle N=0.
Unten: die zugehörige Quantisierungsabweichung \scriptstyle F_q .
Diese Zeichnung verwendet die in verschiedenen anderen Disziplinen verwendete Fehlerdefinition Fehler = ausgegebener minus wahrer Wert[1][2][3][4][5].

Der Quantisierungsfehler \textstyle e_q ist die Differenz zwischen dem Eingangswert \textstyle x und dem quantisierten Wert \textstyle \hat x: [6] [7]

e_q = x - \hat x.

Der „granulare Fehler“ (von englisch granular error) kann allgemein nicht größer werden als das zugehörige Quantisierungsintervall, sonst läge er im benachbarten Intervall.

|e_q| \le \Delta

Bei einer gleichförmigen Quantisierungskennlinie mit Intervallbreite \textstyle \Delta liegt der Quantisierungsfehler mit Runden auf die nächstgelegene Quantisierungsstufe immer zwischen

- \frac{\Delta}{2} < e_q \le \frac{\Delta}{2}.

Im nebenstehenden Bild erkennt man die Abweichung anschaulich am Abstand zwischen der gestuften Kennlinie und der ungestuften geneigten Geraden. Der Stufenhöhe von einem Digit (Ziffernschritt auf der niederwertigsten Stelle der ganzen Zahl \scriptstyle N) entspricht die Stufenbreite \scriptstyle U_q. Die vertikale Abweichung liegt im rechten Bild im Bereich 0 … –1 Digit. Wenn bei \scriptstyle U=0 als quantisierter Wert eine Null entsteht, ist die seitliche Lage der Treppenfunktion noch um (fast) eine Stufenbreite unbestimmt; die Abweichung kann auch wie im linkem Bild bei +1 Digit … 0 liegen oder beliebig dazwischen, z. B. im Bereich –0,5 … +0,5 Digit.

Beispiele[Bearbeiten]

Analog-Digital-Umsetzer[Bearbeiten]

Ein 10-Bit-Umsetzer mit linearer Quantisierungskennlinie, der in \scriptstyle N_\text{max} = 210 = 1024 Quantisierungsstufen auflöst, soll eine elektrische Spannung \scriptstyle U umsetzen in einem Bereich 0 bis 10,24 V. Dieses erfordert eine Schrittweite von U_q =\frac{10{,}24\,\mathrm V}{2^{10}} = 10\,\mathrm{mV}.

Mit einer Zahl \scriptstyle N werden die Stufen fortlaufend durchnummeriert, wobei \scriptstyle 0 \le N \le N_\text{max} -1 ist. Dann ist der durch die Stufung gerundete Wert

U_\text{gestuft} = N\cdot U_q.

Der Wert \scriptstyle N\cdot U_q weicht vom wahren Wert \scriptstyle U ab um die Quantisierungsabweichung

F_q = N \cdot U_q - U.

Digitalmultimeter[Bearbeiten]

Bei Messgeräten mit Ziffernanzeige ist der Nullpunkt innerhalb der Breite einer Stufe der Kennlinie anhand der Null-Anzeige nicht justierbar (Nullpunktsabweichung). Zusammengefasst mit der Quantisierungsabweichung ist bei der Ablesung eines Messwertes eine Messgeräteabweichung bis ± 1 Ziffernschritt selbst bei sonst fehlerfreiem Betrieb zu beachten.

Der durch die Quantisierung verursachte Anteil an der absoluten Fehlergrenze eines Messgerätes ist also eine Konstante und beträgt U_q oder im numerischen Abbild 1 Digit. Gelegentlich wird auch eine Angabe in Bezug zum Messbereichsendwert \scriptstyle U_\text{MB} verwendet –

Beispiel: 0,05 % v.E., wenn der Messbereich von 0 bis \scriptstyle U_\text{MB} in 2000 Schritte aufgelöst wird.

Die zugehörige relative Fehlergrenze beträgt \scriptstyle 1/ N_\text{max} und wird umso kleiner, je größer die Zahl \scriptstyle N_\text{max} ist.

Quantisierungsrauschen[Bearbeiten]

Wenn für das Eingangssignal einige Annahmen gemacht werden können, kann der Quantisierungsfehler auch als stochastischer Prozess modelliert werden – dem Quantisierungsrauschen. Dabei wird angenommen, dass der Fehler stetig gleichverteilt, weiß, stationär und unkorreliert zum Eingangssignal ist. Weiterhin wird für das Eingangssignal angenommen, dass es mittelwertfrei und stationär ist. Diese Annahme trifft in der Praxis, z. B. auf Sprache oder Musik, zu und vor allem dann, wenn eine hinreichend hohe Quantisierungsauflösung verwendet wird.[8]

Dieses Rauschsignal wird zum Eingangssignal addiert (an Stelle der Quantisierung) und ergibt sodann den quantisierten Wert:

\hat x(t) = x(t) + e_q(t)

Auf diese Weise kann der Quantisierer als LTI-System beschrieben und analysiert werden.

Um den Signal-Rausch-Abstand bei einem Signal möglichst hoch zu halten, werden Signale mit kleineren Amplituden bei Bedarf feiner und größere Amplituden gröber aufgelöst, was auch als nichtlineare Quantisierung bezeichnet wird.

Signal- zu (Quantisierungs)Rausch-Verhältnis[Bearbeiten]

Bei der Angabe des Signal-Rausch-Verhältnisses wird überlichweise von einem voll ausgesteuerten (auf 1 normierten) sinusförmigen Eingangssignal ausgegangen. Dessen mittlere Leistung beträgt

P_A = \frac12.

Die mittlere Leistung bei einem gleichverteiltem Quantisierungsfehler entspricht der Varianz der Gleichverteilung:

\sigma^2 = \frac{q^2}{12}.

Hiermit erhält man

\text{SNR} = \frac{P_A}{\sigma^2} = \frac{1/2}{q^2/12}=\frac6{q^2}

oder als logarithmisches Verhältnis (gemäß Schreibweise wie in [9])

Q_\text{(SNR)} = 10\;\lg\frac{P_A}{\sigma^2}\;\mathrm{dB}.

Dabei ist q die Breite der Quantisierungsintervalle bei linearer Quantisierungskennlinie; bei Kodierung mit N Bits pro Sample ist hier \scriptstyle q = 2 \cdot 2^{-N}, da hier von −1 bis 1 quantisiert wird (das sinusförmige Eingangssignal ist auf 1 normiert).

Dies eingesetzt liefert die gemeinhin bekannte Formel:

Q_\text{(SNR)} =10\,\lg(1{,}5 \cdot 2^{2 \cdot N})\,\mathrm{dB} = N \cdot 6{,}02\,\mathrm{dB} + 1{,}76\,\mathrm{dB}

Somit hätte ein 16-bit-A/D-Umsetzer bei sinusförmigem Eingangssignal und Vollpegel einen Signal-Rausch-Abstand von 98,1 dB. Wesentlich ist, dass diese Berechnung nur unter den oben genannten Voraussetzungen gültige Ergebnisse liefert und diese Gleichung keine allgemein gültige Lösung zum Berechnen des Quantisierungsrauschens darstellt. Bei A/D-Umsetzern mit nichtlinearer Kennlinie, wie sie beispielsweise bei dem A-law-Verfahren im Bereich der Telekommunikation eingesetzt werden, gilt aufgrund der nichtlinearen Übertragungsfunktion die hergeleitete Beziehung des Quantisierungsrauschens nicht.

Erhöhung des SNR durch Überabtastung[Bearbeiten]

Durch eine Kombination von Überabtastung und Tiefpassfilterung nach der Quantisierung – ggf. zusätzlich noch Rauschformung – lässt sich das weiter SNR erhöhen.[10]

Q_\text{(SNR)} = N \cdot 6{,}02\,\mathrm{dB} + 1{,}76\,\mathrm{dB} + 10\,\lg \left( \frac{f_\text{sample}}{2\cdot B} \right)

(N: Anzahl der Quantisierungsstufen, fsample: Abtastfrequenz, B: Bandbreite des Eingangssignals)

Quantisierungsrauschen bei nicht sinusförmigen Signalen[Bearbeiten]

Soll das Quantisierungsrauschen nicht nur bei sinusförmigen Signalen ermittelt werden, lässt sich für beliebige, stationäre Signale und bei linearem A/D-Umsetzer auch folgende, verallgemeinerte Berechnung für das Quantisierungsrauschen bei Vollpegel ermitteln:

Q_\text{(SNR)} = N \cdot 6{,}02\,\mathrm{dB} + 4{,}77\,\mathrm{dB} - 20 \cdot \lg\left(\frac{A_{\text{peak}}}{A_{\text{eff}}}\right)

Dabei stellt A_{\text{peak}} den Spitzenwert des Nutzsignals und A_{\text{eff}} den Effektivwert dar. Bei einem sinusförmigen Signal ist die Beziehung zwischen Spitzenwert und Effektivwert A_{\text{peak}}/A_{\text{eff}} = \sqrt{2}, was nach Einsetzen auf obige Gleichung führt.

Bei typischen Audiosignalen wie Musik und Sprache kann mit einem Faktor von rund 4 als Relation zwischen Spitzenwert und Effektivwert in guter Näherung gerechnet werden. Damit ist bei sonst gleichen Parametern der Signal-Rausch-Abstand zufolge des Quantisierungsrauschen bei einem Sprachsignal um etwa 9 dB schlechter als bei einem rein sinusförmigen Signal.

Beispiele[Bearbeiten]

Amplitudenverlauf bei 1-Bit-(oben) und 4-Bit-Quantisierung.

Das Diagramm zeigt den Amplitudenverlauf zweier Signale, die durch Quantisieren des Signals 8, (8 Bit Abtastung) entstanden. Das untere wurde mit 4 Bits quantisiert (Signal 4), entsprechend 16 unterschiedlichen Werten. Für das obere Signal (Signal 1) stand ein Bit mit entsprechend 2 verschiedenen Amplitudenwerten zur Verfügung.

Der Abstand zwischen Nutzsignalleistung und Rauschleistung bei 1-Bit-Quantisierung beträgt in unserem Beispiel fast 8 dB. Es liegt oberhalb der Rauschschwelle, die für Sprachverständlichkeit erforderlich ist. Auch bei einer Abtastung mit nur zwei verschiedenen Amplitudenwerten bleibt Sprache verständlich. Selbst Lautstärkemodulationen bleiben erkennbar.

Klangbeispiele:

Literatur[Bearbeiten]

  • Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. 3. durchgesehene Auflage. Oldenbourg Verlag, München u. a. 1999, ISBN 3-486-24145-1.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. H-R. Tränkler, Taschenbuch der Messtechnik, 2. Aufl. 1990, S.127
  2. K. Bergmann, Elektrische Messtechnik, 5. Aufl. 1993, S.30
  3. R. Ose, Elektrotechnik für Ingenieure, Band 2: Anwendungen, 1999, S.370f
  4. Bronstein-Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 19. Aufl. 1979, S.151
  5. DIN 1319-1 Grundlagen der Messtechnik; Grundbegriffe, 1995, Nr.5.11
  6.  John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis: Digital Signal Processing. 3. Auflage. Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-394289-9, Kapitel 9.2, S. 751 ff.
  7.  Kuc, Roman: Introduction to Digital Signal Processing. BSP, Wiley, 1982, ISBN 81-7800-168-3, S. 395 f.
  8. K.-D. Kammayer: Nachrichtenübertragung, 3. Auflage, 2004, Teubner, ISBN 3-519-26142-1.
  9. DIN EN 60027-3:2007 Formelzeichen für die Elektrotechnik – Logarithmische und verwandte Größen in ihre Einheiten
  10. Walt Kester: Taking the Mystery out of the Infamous Formula, "SNR = 6.02N + 1.76dB," and Why You Should Care. Analog Devices, 2009, S. 7, abgerufen am 10. März 2014 (pdf, englisch).