Phi-Funktion mit
Die Ramanujan-Phifunktion
ist nach Srinivasa Ramanujan durch
![{\displaystyle \varphi (a,n)=1+2\sum _{k=1}^{n}{1 \over (ak)^{3}-ak}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a59a4abf901cb6581e619a2ac9db4368d80cf1a)
mit
,
,
und
definiert.
Für die Reihe ergibt sich explizit:
![{\displaystyle \varphi (a,n)=1+2{1 \over a^{3}-a}+2{1 \over 8a^{3}-2a}+2{1 \over 27a^{3}-3a}+\ldots +2{1 \over (an)^{3}-a\cdot n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28164b73454f83a20afda3f208fae05ad4a94195)
Sei die harmonische Funktion mithilfe der Funktion
definiert.[1] Infolge kann die Ramanujan-Phifunktion dargestellt werden durch:
![{\displaystyle \varphi (a,n)=1-{1 \over a}(H_{-1/a}+H_{1/a}+2H_{n}-H_{n-1/a}-H_{n+1/a})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592a7303137e098ddfa45e0d30f1b5f16483fdd5)
Sei
der Grenzwert der Ramanujan-Phifunktion für
. Vereinfacht gilt:[2]
.
Dabei ist
die Digamma-Funktion und
die Euler-Mascheroni-Konstante.
Funktionswerte der Ramanujan-Phifunktion für
:[2]
a
|
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2
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|
3
|
|
4
|
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5
|
|
6
|
|
Dabei ist
der Goldene Schnitt.
- ↑ Eric W. Weisstein: Harmonic Number. Abgerufen am 30. Mai 2019 (englisch).
- ↑ a b Eric W. Weisstein: Ramanujan phi-Function. Abgerufen am 30. Mai 2019 (englisch).