Digamma-Funktion

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Die Digamma-Funktion in der komplexen Zahlenebene.

Die Digamma-Funktion oder Psi-Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, die definiert wird als:

Sie ist also die logarithmische Ableitung der Gammafunktion. Die Digamma-Funktion ist die erste der Polygammafunktionen. Bis auf ihre Pole erster Ordnung für negative ganze Argumente ist sie (genau wie die Gammafunktion) in ganz holomorph.

Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Beziehung zu der harmonischen Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Digammafunktion, welche meist als ψ0(x), ψ0(x) oder (nach der Form des vorklassischen griechischen Buchstaben Ϝ digamma) dargestellt wird, steht mit der harmonischen Reihe in folgender Beziehung:

wobei Hn das n-te Element der harmonischen Reihe und γ die Euler-Mascheroni-Konstante ist. Für halbzahlige Werte kann sie geschrieben werden als:

Integral-Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Digammafunktion kann wie folgt als Integral dargestellt werden:

Dies kann auch geschrieben werden als:

Dies folgt aus der Formel für das Euler-Integral für die harmonische Reihe.

Taylor-Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch Reihenentwicklung der Taylor-Reihe um den Punkt z=1 kann die Digammafunktion wie folgt dargestellt werden:

Sie konvergiert für |z|<1. Dabei ist die Riemannsche ζ-Funktion. Die Reihe kann leicht von der zugehörigen Taylor-Reihe für die Hurwitzsche ζ-Funktion hergeleitet werden.

Binomische Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Binomische Reihe für die Digammafunktion folgt aus dem Euler-Integral

wobei der verallgemeinerte Binomialkoeffizient ist.

Funktionalgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Digammafunktion genügt folgender Funktionalgleichung, welche direkt aus der logarithmischen Ableitung der Gammafunktion hergeleitet werden kann:

Hiermit kann allerdings nicht ψ(1/2) berechnet werden; dieser Wert ist unten angegeben.

Rekursionsformel und Summenausdrücke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Digamma-Funktion genügt der Rekursionsformel

oder

wobei Δ der rechtsseitige Differenzoperator ist. Dies erfüllt die Rekursionsbeziehung der harmonischen Reihe. Daraus folgt

Allgemeiner gilt:

Aus der Gaußschen Produktdarstellung der Gammafunktion lässt sich äquivalent dazu

.

schlussfolgern.

Quotientenbeziehung zur Gammafunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Quotienten aus Digammafunktion und Gammafunktion liefert die Produktdarstellung den Ausdruck

.

Bei positiven ganzen Zahlen , bei deren negativen Werten sowohl Digamma- als auch Gammafunktion divergieren, folgt dann

.

Mit Hilfe der Funktionalgleichung für die Gammafunktion findet man sogar heraus, dass der Wert des Quotienten ausschließlich vom Argument der Gammafunktion abhängt, also gilt für ganzzahlige schließlich

.

Gaußsche Summe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Digammafunktion hat eine Gaußsche Summe der Form

für natürliche Zahlen . Dabei ist ζ(s,q) die Hurwitzsche ζ-Funktion und das Bernoulli-Polynom. Ein Spezialfall des Multiplikationstheorem ist

Gaußsches Digamma-Theorem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ganze Zahlen m und k (mit m < k), kann die Digammafunktion mit elementaren Funktionen ausgedrückt werden

Besondere Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Digamma-Funktion hat unter anderem folgende besondere Werte:

Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung der Digammafunktion ist nach deren Definition die Trigamma-Funktion

die zweite Polygammafunktion.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]