Repunit

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Repunit ist ein Kunstwort aus den englischen Wörtern repeated (wiederholt) und unit (Einheit) und bezeichnet eine Zahl, die nur die Ziffer 1 enthält. Eine Repunit ist eine besondere Repdigit („Schnapszahl“); die Bezeichnung Repunit wurde 1966 von Albert H. Beiler geprägt.[1] Im Deutschen wird auch die Bezeichnung Einserkolonne oder Einserschlange verwendet.

Eine prime Repunit oder Repunit-Primzahl ist eine Repunit, die zugleich eine Primzahl ist.

Definition[Bearbeiten]

Mathematisch sind Repunits (im Dezimalsystem) definiert als

 R_n={10^n-1\over9} ,\ \mbox{mit }n \in \N^{\operatorname +}

Die Zahl Rn besteht also aus n Einsen. Die Folge der Repunits beginnt 1, 11, 111, 1111, ... (Folge A002275 in OEIS).

Repunit-Primzahlen[Bearbeiten]

Die Definition der Repunits entstand historisch auf der Suche nach einer Zerlegung solcher Zahlen in ihre Primfaktoren. Die Frage, ob eine Repunit-Zahl eine Primzahl ist, beschäftigte im 19. Jahrhundert sogar ernsthafte Mathematiker. So verfasste Carl Gustav Jacob Jacobi eine Arbeit mit dem Titel Untersuchung, ob die Zahl 11111111111 eine Primzahl ist oder nicht. Ein Kuriosum, veranlasst durch Dase.

Es ist einfach zu zeigen, dass Rn durch Ra teilbar ist, falls n durch a teilbar ist. Zum Beispiel ist R9 teilbar durch R3: 111111111 = 111 · 1001001. Deshalb muss notwendig n eine Primzahl sein, damit Rn eine Primzahl sein kann. Diese Bedingung ist jedoch nicht hinreichend, zum Beispiel ist R3 keine Primzahl, da R3 = 111 = 3 · 37.

Außer für dieses Beispiel von R3 kann p nur Teiler von Rn sein (für eine Primzahl n), wenn p = 2kn + 1 für ein bestimmtes k.

Repunit-Primzahlen sind selten. Rn ist eine Primzahl für n = 2, 19, 23, 317, 1031, ... (Folge A004023 in OEIS). Die im September 1999 von Harvey Dubner bzw. im Oktober 2000 von Lew Baxter gefundenen R49081 und R86453 sind wahrscheinlich Primzahlen. Ende März 2007 ermittelten Paul Bourdelais und Harvey Dubner R109297 als primzahlverdächtig, vier Monate später fanden Maksym Voznyy und Anton Budnyy R270343 als gegenwärtig (2013) größte bekannte wahrscheinliche Repunit-Primzahl.[2] Es wird vermutet, dass es unendlich viele Repunit-Primzahlen gibt.[3]

Verallgemeinerte Repunits[Bearbeiten]

Da die obige Definition von Repunits auf dem Dezimalsystem beruht, mag diese Definition zunächst willkürlich erscheinen. Man kann die zugrunde liegende Idee jedoch verallgemeinern, indem man Repunits bezüglich einer beliebigen Basis b definiert:

 R_n^{(b)} = {b^n-1\over b-1} \qquad\mbox{mit } n \ge 1

Es ist einfach zu beweisen, dass für jedes n, das nicht ohne Rest durch 2 oder p teilbar ist, eine Repunit zur Basis 2p existiert, die ein Vielfaches von n ist.

Die Basis-2-Repunits sind bekannt als die Mersenne-Zahlen Mn = 2n − 1.

Die Repunit-Primzahlen sind eine Teilmenge der permutierbaren Primzahlen, also der Primzahlen, die Primzahlen bleiben, wenn man ihre Ziffern beliebig vertauscht.

Eine besonders große verallgemeinerte Repunit-Primzahl mit 37.090 Stellen berechnete Andy Steward 2006 mit \frac{28839^{8317} - 1}{28838}. Im Jahr 2010 fand Tom Wu mit \frac{1549^{12973} - 1}{1548} eine noch größere mit 41.832 Stellen.[4]

Repunit-Primzahl zu unterschiedlichen Basen[Bearbeiten]

Die ersten Repunit-Primzahlen zur Basis 3 sind

13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013, ... (Folge A076481 in OEIS),

mit den zugehörigen n von 3, 7, 13, 71, 103, ... (Folge A028491 in OEIS).

Zur Basis 4 existiert nur die Repunit-Primzahl 5 (11_4), da 4^n-1=\left(2^n+1\right)\left(2^n-1\right) und 3 für ungerade n ein Teiler von 2^n+1 und für gerade n ein Teiler von 2^n-1 ist.

Die ersten Repunit-Primzahlen zur Basis 5 sind

31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, ... (Folge A086122 in OEIS)

mit den zugehörigen n von 3, 7, 11, 13, 47, ... (Folge A004061 in OEIS).

Die ersten Repunit-Primzahlen zur Basis 6 sind

7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, ... (Folge A165210 in OEIS)

mit den zugehörigen n von 2, 3, 7, 29, 71, ... (Folge A004062 in OEIS)

Die ersten Repunit-Primzahlen zur Basis 7 sind

2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,
138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601

mit den zugehörigen n von 5, 13, 131, 149, ... (Folge A004063 in OEIS)

Zur Basis 8 existiert nur die Repunit-Primzahl 73 (111_8), da 8^n-1=\left(4^n+2^n+1\right)\left(2^n-1\right) und der erste Faktor 4^n+2^n+1 durch 7 teilbar ist, wenn n nicht durch 3 teilbar ist bzw. der zweite Faktor 2^n-1 durch 7 teilbar ist, wenn n ein Vielfaches von 3 ist. Zur Basis 9 gibt es keine Repunit-Primzahlen, da 9^n-1=\left(3^n+1\right)\left(3^n-1\right) und sowohl 3^n+1 als auch 3^n-1 gerade sind.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Albert H. Beiler: Recreations in the Theory of Numbers. The queen of mathematics entertains. New York: Dover, 21966, Kap. XI, S. 83ff.
  2. Giovanni Di Maria: The Repunit Primes Project.
  3. Chris K. Caldwell: The Prime Glossery: Repunit.
  4. Andy Steward: Titanic Prime Generalized Repunits.

Weblink[Bearbeiten]