Repunit

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Repunit ist ein Kofferwort aus den englischen Wörtern repeated (wiederholt) und unit (Einheit) und bezeichnet eine Zahl, die nur die Ziffer 1 enthält. Eine Repunit ist eine besondere Repdigit („Schnapszahl“); die Bezeichnung Repunit wurde 1966 von Albert H. Beiler geprägt.[1] Im Deutschen wird auch die Bezeichnung Einserkolonne oder Einserschlange verwendet.

Eine prime Repunit oder Repunit-Primzahl ist eine Repunit, die zugleich eine Primzahl ist.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mathematisch sind Repunits (im Dezimalsystem) definiert als

, mit .

Zudem lässt sich auch eine rekursive Definition angeben:

Die Zahl besteht also aus genau Einsen (). Die Folge der Repunits beginnt wie folgt: 1, 11, 111, 1111, … (Folge A002275 in OEIS).

Repunit-Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Definition der Repunits entstand historisch auf der Suche nach einer Zerlegung solcher Zahlen in ihre Primfaktoren. Die Frage, ob eine Repunit-Zahl eine Primzahl ist, beschäftigte Mathematiker schon im 19. Jahrhundert. So verfasste Carl Gustav Jacob Jacobi eine Arbeit mit dem Titel „Untersuchung, ob die Zahl 11111111111 eine Primzahl ist oder nicht. Ein Kuriosum, veranlasst durch Dase.

Es ist einfach zu zeigen, dass durch teilbar ist, falls durch teilbar ist. Zum Beispiel ist teilbar durch : 111111111 = 111 · 1001001. Deshalb muss notwendig eine Primzahl sein, damit eine Primzahl sein kann. Diese Bedingung ist jedoch nicht hinreichend, zum Beispiel ist keine Primzahl, da .

Außer für dieses Beispiel von kann nur Teiler von sein (für eine Primzahl ), wenn für ein bestimmtes .

Repunit-Primzahlen sind selten. ist eine Primzahl für (Folge A004023 in OEIS). Die im September 1999 von Harvey Dubner bzw. im Oktober 2000 von Lew Baxter gefundenen und sind wahrscheinlich Primzahlen. Ende März 2007 ermittelten Paul Bourdelais und Harvey Dubner als primzahlverdächtig, vier Monate später fanden Maksym Voznyy und Anton Budnyy als gegenwärtig (2013) größte bekannte wahrscheinliche Repunit-Primzahl.[2] Es wird vermutet, dass es unendlich viele Repunit-Primzahlen gibt.[3]

Verallgemeinerte Repunits[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die obige Definition von Repunits auf dem Dezimalsystem beruht, mag diese Definition zunächst willkürlich erscheinen. Man kann die zugrunde liegende Idee jedoch verallgemeinern, indem man Repunits bezüglich einer beliebigen Basis definiert:

, mit , ,

Die verallgemeinerte rekursive Definition lautet:

Die Zahl besteht also aus genau Einsen (), wenn sie als Zahl zur Basis notiert wird (wobei unabhängig von der Basis immer gleich 1 ist).

Wertetabelle einiger Repunits als Beispiel:

Gegenüberstellung einiger Repunit-Werte für gebräuchliche Zahlensysteme
Binärsystem
Oktalsystem
Dezimalsystem
Hexadezimalsystem
binär dezimal oktal dezimal dezimal hexadezimal dezimal
1 12 110 18 110 110 116 110
2 112 310 118 910 1110 1116 1710
3 1112 710 1118 7310 11110 11116 27310
4 11112 1510 11118 58510 111110 111116 436910
5 111112 3110 111118 468110 1111110 1111116 6990510
6 1111112 6310 1111118 3744910 11111110 11111116 111848110
7 11111112 12710 11111118 29959310 111111110 111111116 1789569710
8 111111112 25510 111111118 239674510 1111111110 1111111116 28633115310
9 1111111112 51110 1111111118 1917396110 11111111110 11111111116 458129844910
10 11111111112 102310 11111111118 15339168910 111111111110 111111111116 7330077518510

Es ist einfach zu beweisen, dass für jedes , das nicht ohne Rest durch 2 oder teilbar ist, eine Repunit zur Basis existiert, die ein Vielfaches von ist.

Die Basis-2-Repunits sind bekannt als die Mersenne-Zahlen:

Die Repunit-Primzahlen sind eine Teilmenge der permutierbaren Primzahlen, also der Primzahlen, die Primzahlen bleiben, wenn man ihre Ziffern beliebig vertauscht.

Eine besonders große verallgemeinerte Repunit-Primzahl mit 37.090 Stellen berechnete Andy Steward 2006 mit . Im Jahr 2010 fand Tom Wu mit eine noch größere mit 41.382 Stellen.[4]

Repunit-Primzahl zu unterschiedlichen Basen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiele:

  • Die Repunit ist zur Basis eine Primzahl, weil eine Primzahl ist.
  • Es folgt eine Tabelle der kleinsten Repunit-Primzahlen zu Basen , im Dezimalsystem geschrieben
Basis die kleinsten Repunit-Primzahlen zu Basen , im Dezimalsystem geschrieben OEIS-Folge
die dazugehörigen , für die obige Repunits Primzahlen sind OEIS-Folge
2 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213363391578010288127, … (alle Mersenne-Primzahlen) Folge A000668 in OEIS
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, ... Folge A000043 in OEIS
3 13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013, ... Folge A076481 in OEIS
3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, ... Folge A028491 in OEIS
4 5 (die einzige, weil ist und die Zahl für ungerade ein Teiler von und für gerade ein Teiler von ist)
2
5 31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, ... Folge A086122 in OEIS
3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, ... Folge A004061 in OEIS
6 7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, ... Folge A165210 in OEIS
2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, ... Folge A004062 in OEIS
7 2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,

138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601, ...

Folge A102170 in OEIS
5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ... Folge A004063 in OEIS
8 73 (die einzige, weil und der erste Faktor durch 7 teilbar ist, wenn nicht durch 3 teilbar ist
bzw. der zweite Faktor durch 7 teilbar ist, wenn ein Vielfaches von 3 ist)
3
9 es gibt keine einzige prime Repunit mit dieser Basis, weil und sowohl als auch gerade sind
-
10 11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, ... Folge A004022 in OEIS
2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ... Folge A004023 in OEIS
11 50544702849929377, 6115909044841454629, 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953, 567000232521795739625828281267171344486805385881217575081149660163046217465544573355710592079769932651989153833612198334843467861091902034340949, ...
17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ... Folge A005808 in OEIS
12 13, 157, 22621, 29043636306420266077, 43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581, 388475052482842970801320278964160171426121951256610654799120070705613530182445862582590623785872890159937874339918941, ...
2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ... Folge A004064 in OEIS

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Albert H. Beiler: Recreations in the Theory of Numbers. The queen of mathematics entertains. 2. Auflage. Dover, New York 1966, Kap. XI, S. 83 ff.
  2. Giovanni Di Maria: The Repunit Primes Project.
  3. Chris K. Caldwell: The Prime Glossery: Repunit.
  4. Andy Steward: Titanic Prime Generalized Repunits. (Memento vom 19. Oktober 2013 im Internet Archive)