Riesz-Mittel

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Das Riesz-Mittel ist eine bestimmte Mittelwert-Bildung für Werte in eine Reihe in der Mathematik. Sie wurden von Marcel Riesz 1911 als Verbesserung zum Cesàro-Mittel eingeführt.[1][2] Das Riesz-Mittel sollte nicht mit dem Bochner-Riesz-Mittel oder dem Strong-Riesz-Mittel verwechselt werden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei eine Reihe . Das Riesz-Mittel der Reihe ist definiert durch

Manchmal wird ein verallgemeinertes Riesz-Mittel definiert als

Dabei sind die eine Folge mit und mit , wenn . Die anderen sind beliebig.

Das Riesz-Mittel wird oft verwendet, um die Summierbarkeit von Folgen zu untersuchen. Üblicherweise untersuchen Sätze zur Summierbarkeit der für Folgen . Normalerweise ist eine Folge summierbar, wenn der Grenzwert vorhanden ist oder der Grenzwert existiert, obgleich die exakten Sätze zur Summierbarkeit oft noch zusätzliche Bedingungen voraussetzen.

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei für alle . Dann gilt

Dabei muss sein, ist die Gammafunktion und ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Es kann gezeigt werden, dass die Potenzreihe

für konvergent ist. Es ist anzumerken, dass das Integral von der Form einer inversen Mellin-Transformation ist.

Ein anderer interessanter Fall, der mit der Zahlentheorie verknüpft ist, entsteht durch Setzen von , wobei die Mangoldt-Funktion ist. Dann ist

Erneut muss c > 1 sein. Die Summe über ρ ist die Summe über die Nullen der Riemannschen Zeta-Funktion und

ist konvergent für ρ > 1.

Die Integrale, die hierbei auftreten ähneln dem Nörlund-Rice-Integral. Sie hängen über Perron's-Formel zusammen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. M. Riesz: Comptes Rendus, 12. Juni 1911 (englisch)
  2. G.H. Hardy and J.E. Littlewood: Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes, Acta Mathematica, 41 (1916) pp.119–196. (englisch)