Mangoldt-Funktion

In der Mathematik ist die Mangoldt-Funktion, benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans von Mangoldt, eine zahlentheoretische Funktion, die üblicherweise mit $\Lambda$$\Lambda$ bezeichnet wird.

Definitionen und grundlegende Eigenschaften

Die Mangoldtsche Funktion ist definiert als

$\Lambda (n)={\begin{cases}\log(p)&{\text{falls }}n{\text{ sich als }}n=p^{k}{\text{ darstellen }}\mathrm {l{\ddot {a}}sst,} {\text{ wobei }}p{\text{ prim und }}k\in \mathbb {N} ^{+}\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$$\Lambda (n)={\begin{cases}\log(p)&{\text{falls }}n{\text{ sich als }}n=p^{k}{\text{ darstellen }}\mathrm {l{\ddot {a}}sst,} {\text{ wobei }}p{\text{ prim und }}k\in \mathbb {N} ^{+}\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Sie ist weder eine additive Funktion noch multiplikative Funktion.

exp(Λ(n))

exp(Λ(n)) lässt sich explizit angeben als

$e^{\Lambda (n)}={\frac {\operatorname {kgV} (1,2,3,\dotsc ,n)}{\operatorname {kgV} (1,2,3,\dotsc ,n-1)}}$$e^{\Lambda (n)}={\frac {\operatorname {kgV} (1,2,3,\dotsc ,n)}{\operatorname {kgV} (1,2,3,\dotsc ,n-1)}}$

wobei ${\rm {kgV}}$$\rm kgV$ das kleinste gemeinsame Vielfache bezeichnet.

Die ersten Werte der Folge exp(Λ(n)) sind

1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 2, 17, 1, 19, 1, 1, 1, … (Folge A014963 in OEIS)

Summierte Mangoldt-Funktion

Die summierte Mangoldt-Funktion,

$\psi (n)=\sum _{i=1}^{n}\Lambda (i),$$\psi (n)=\sum _{i=1}^{n}\Lambda (i),$

wird auch als Tschebyschow-Funktion bezeichnet. Sie spielt beim Beweis des Primzahlsatzes eine Rolle.

Teilersummen

$\sum _{d|n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)\cdot \log d=\Lambda (n)$$\sum _{d|n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)\cdot \log d=\Lambda (n)$

$\sum _{d|n}\Lambda (d)=\log n\,$$\sum _{d|n}\Lambda (d)=\log n\,$

$\sum _{d|n}\mu (d)\log d=-\Lambda (n)\,$$\sum _{d|n}\mu (d)\log d=-\Lambda (n)\,$

$\sum _{d|n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)\Lambda (d)=-\mu (n)\log n$$\sum _{d|n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)\Lambda (d)=-\mu (n)\log n$

wobei $\mu (n)$$\mu (n)$ die Möbius-Funktion bezeichnet.

Dirichlet-Reihen

Die Mangoldt-Funktion spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der Dirichletreihen.

Es gilt

$\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}\qquad \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;Re} (s)>1.$$\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}\qquad \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;Re} (s)>1.$

Die logarithmische Ableitung davon liefert einen Zusammenhang zwischen der Riemannschen $\zeta$$\zeta$-Funktion und der Mangoldt-Funktion:

${\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}\qquad \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;Re} (s)>1.$${\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}\qquad \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;Re} (s)>1.$

Allgemeiner gilt sogar: Ist $f$$f$ multiplikativ und ihre Dirichletreihe $F$$F$

$F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$$F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$

konvergiert für gewisse $s$$s$, dann gilt

${\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}.$${\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}.$

Referenzen

• Eric W. Weisstein: Mangoldt Function. In: MathWorld (englisch).
• Springerlink