Mangoldt-Funktion

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In der Mathematik ist die Mangoldt-Funktion, benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans von Mangoldt, eine zahlentheoretische Funktion, die üblicherweise mit bezeichnet wird.

Definitionen und grundlegende Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Mangoldtsche Funktion ist definiert als

Sie ist weder eine additive Funktion noch multiplikative Funktion.

exp(Λ(n))[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

exp(Λ(n)) lässt sich explizit angeben als

wobei das kleinste gemeinsame Vielfache bezeichnet.

Die ersten Werte der Folge exp(Λ(n)) sind

1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 2, 17, 1, 19, 1, 1, 1, … (Folge A014963 in OEIS)

Summierte Mangoldt-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die summierte Mangoldt-Funktion,

wird auch als Tschebyschow-Funktion bezeichnet. Sie spielt beim Beweis des Primzahlsatzes eine Rolle.

Teilersummen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

wobei die Möbius-Funktion bezeichnet.

Dirichlet-Reihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Mangoldt-Funktion spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der Dirichletreihen.

Es gilt

Die logarithmische Ableitung davon liefert einen Zusammenhang zwischen der Riemannschen -Funktion und der Mangoldt-Funktion:

Allgemeiner gilt sogar: Ist multiplikativ und ihre Dirichletreihe

konvergiert für gewisse , dann gilt

Referenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]