Riesz-Raum

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Ein Riesz-Raum ist ein Vektorraum mit einer Verbandsstruktur, die so beschaffen ist, dass sich die lineare und die Verbandsstruktur vertragen. Im Jahr 1928 wurde dieser Raum von Frigyes Riesz definiert[1] und trägt deshalb heute seinen Namen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein -Vektorraum und eine halbgeordnete Menge.

Dann heißt ein Riesz-Raum wenn folgende Axiome erfüllt sind:

  1. Für alle gilt: .
  2. Für alle gilt: und .
  3. ist ein Verband.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • 1. und 2. bedeuten ist ein geordneter Vektorraum.
  • Bei der Formulierung von 2. ist zu beachten, dass sich sowohl auf , als auch auf bezieht, aus dem Zusammenhang ist meistens klar, welche Ordnungsrelation gemeint ist, so dass üblicherweise auf zusätzliche Indizes verzichtet wird.
  • 2. lässt sich auch durch die schwächere Forderung und ersetzen.
  • Bezeichnen die Verbandsoperationen, so ist es Konvention, dass stärker binden, als (Klammerregel).

Erste Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für und gelten folgende Rechenregeln:

  • und
  • und
  • und
  • Sei für .
Dann gilt und .
  • und
  • und
Dies bedeutet jeder Riesz-Raum ist ein distributiver Verband.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die reellen Zahlen mit der üblichen Anordnung bilden einen Riesz-Raum.
  • Der mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
  • Die Menge der reellen Zahlenfolgen mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
  • Die Menge der reellen Nullfolgen mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
  • Für ist mit komponentenweiser Anordnung ein Riesz-Raum.
  • Die Menge der beschränkten reellen Folgen mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
  • Die Menge der stetigen Funktionen auf einem Intervall bildet mit punktweiser Anordnung einen Riesz-Raum.
  • Die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen auf einem Intervall bildet einen geordneten Vektorraum mit der punktweisen Anordnung, aber keinen Riesz-Raum.

Integrationstheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Riesz-Räume bieten Voraussetzungen für eine abstrakte Maß- und Integrationstheorie. Die zentrale Aussage in diesem Zusammenhang ist der Spektralsatz von Freudenthal. Dieser Satz garantiert für Riesz-Räume auf abstrakte Weise die Approximationseigenschaft von Funktionen durch Treppenfunktionen. Der Satz von Radon-Nikodým und die Poissonsche Summenformel für beschränkte harmonische Funktionen auf der offenen Kreisscheibe sind Spezialfälle des Spektralsatzes von Freudenthal. Dieser Spektralsatz war einer der Ausgangspunkte für die Theorie der Riesz-Räume.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. * Riesz, Frigyes: Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires, Atti congress. internaz. mathematici (Bologna, 1928) , 3 , Zanichelli (1930) pp. 143–148

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]