Rutherford-Streuung

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Die Rutherford-Streuung beschreibt die Streuung von geladenen Partikeln an einem geladenen Streuzentrum. Im Ausgangsversuch wurde die Streuung von Alpha-Teilchen an Gold-Atomkernen untersucht. Die sich daraus ergebenden Teilchenbahnen sind Hyperbeln. Die Verteilung der gestreuten Teilchen lässt auf die Struktur des Streuzentrums rückschließen. Dies führte zur Erkenntnis, dass die positive Ladung in den Atomen sich auf einen kleinen Raum im Atomzentrum konzentriert. Bis dahin galt das Modell von J.J. Thomson, bei dem die positive Ladung des Atoms homogen in einer Kugel verteilt ist (thomsonsches Atommodell). Beteiligt an diesen Experimenten waren Hans Geiger, Ernest Marsden und Ernest Rutherford. Bei der Betrachtung der Messergebnisse, die darauf hinweisen, dass die Masse des Atoms in einem kleinen Kern konzentriert ist, soll Rutherford gesagt haben: „Dies ist so unwahrscheinlich, als ob man mit einer Pistole auf einen Wattebausch schießt, und die Kugel zurückprallt.“

Rutherfordscher Streuversuch (Manchester, 1909–1913)[Bearbeiten]

Aufbau und Versuchsdurchführung[Bearbeiten]

Versuchsaufbau: 1: Radioaktives Radium, 2: Bleimantel zur Abschirmung, 3: Alpha-Teilchenstrahl, 4: Leuchtschirm bzw. Fotografieschirm 5: Goldfolie 6: Punkt, an dem die Strahlen auf die Folie treffen, 7: Teilchenstrahl trifft den Schirm, nur wenige Teilchen werden abgelenkt.

In einen Bleiblock mit Öffnung zu einer Seite hin wird ein radioaktiver Stoff gelegt, der Strahlung abgibt: Alpha-, Beta- und Gamma-Strahlung. Die aus der Öffnung im Bleiblock austretenden Strahlen werden durch ein elektrisches Feld geleitet um sie voneinander zu trennen. Denn dadurch werden die negativen Elektronen (Beta-Strahlen) zum positiven Pol und die positiven Helium-Atomkerne (Alpha-Strahlen) zum negativen Pol abgelenkt, während die Richtung der ungeladenen Photonen (Gamma-Strahlen) unverändert bleibt. Die Alpha-Strahlung wird senkrecht auf eine 0,5 μm dünne Goldfolie (ca. 1000 Atome hintereinander) gerichtet. Die aus der Folie austretende Strahlung lässt sich danach mit einem Leuchtschirm oder einem daran befestigten Film sichtbar machen. (Gold wurde verwendet, da es sich schon damals mit einfachen mechanischen Mitteln zu sehr dünnen Schichten verarbeiten ließ und eine hohe Atommasse besitzt.)

Beobachtung[Bearbeiten]

Linke Hälfte: Versuchsergebnis, wie es nach dem Thomson-Modell zu erwarten wäre. Rechte Hälfte: Erhaltenes Ergebnis und Veranschaulichung mit dem Rutherford-Modell.
  • Fast alle Alpha-Teilchen können die Goldfolie ungehindert passieren.
  • Nur bei ca. 1 von 100.000 Alpha-Teilchen wird die Richtung geändert.
  • Größere Streuwinkel kommen dabei immer seltener vor, je größer der Winkel ist.
  • Auch Streuwinkel von über 90° gibt es, aber extrem selten.
  • Einige Alpha-Teilchen werden zurück gestreut.

Für die beobachtete Verteilung hat Rutherford die unten beschriebene Streuformel entwickelt.

Interpretation[Bearbeiten]

Die extrem seltene Ablenkung der Alpha-Teilchen und deren Winkelverteilung lassen sich dadurch verstehen, dass sich in den Atomen nur ein sehr kleines Massezentrum befindet, das positiv geladen ist. Man nennt dieses Massezentrum den Atomkern. Da die meisten Teilchen die Goldfolie ungehindert passieren, muss zwischen den Kernen ein großer Freiraum bestehen. Dieses Ergebnis führte zu dem rutherfordschen Atommodell. (Die Elektronen, welche sich in dem relativ zum Kerndurchmesser riesigen leeren Raum (Vakuum) um den Kern bewegen, schirmen die konzentrierte positive Kern-Ladung ab, sodass das Atom nach außen hin neutral erscheint.)

Rutherfordsche Streuformel[Bearbeiten]

Die rutherfordsche Streuformel gibt den so genannten differenziellen Streuquerschnitt (auch Wirkungsquerschnitt genannt) in Abhängigkeit vom Streuwinkel \vartheta im Schwerpunktsystem an:

\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} = \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Z_1Z_2e^2}{4E_0} \right) ^2 \frac{1}{ \sin^4 \left( \frac{\vartheta}{2} \right) }

Die gleiche Formel in kernphysikalisch sinnvollen Einheiten:

\frac{\mathrm{d}\sigma} {\mathrm{d}\Omega} [\mathrm{barn}] \approx 1{,}3 \cdot 10^{-3} \left(\frac{Z_1 Z_2}{E_0[\mathrm{MeV}]}
\right)^2\frac{1}{ \sin^4 \left( \frac{\vartheta}{2} \right) }

Damit ist die Wahrscheinlichkeit beschrieben, dass gestreute Teilchen nach einer Ablenkung um den Winkel \vartheta im Raumwinkel \mathrm{d}\Omega = 2\pi\sin(\vartheta)\,\mathrm{d}\vartheta auftreffen.

In der Formel werden weiterhin folgende Größen benutzt:

Elektrische Feldkonstante (Dielektrizitätskonstante) \varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12} \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{Vm}}
Ladung des gestreuten Teilchens Z_1e
Ladung des Atomkerns Z_2e
Elementarladung e = 1{,}602 \cdot 10^{-19} \mathrm{C}
Anfangsenergie des gestreuten Teilchens E_0

Auf den Vorfaktor kommt man, indem man folgende Größen verwendet:

Feinstrukturkonstante \alpha\ =\ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\;\frac{e^2}{\hbar c} \approx 1/137
Einheit für den Wirkungsquerschnitt  1 \mathrm{barn} = 100 \mathrm{fm}^2
\hbar c = 197 \mathrm{MeV} \cdot \mathrm{ fm}

Rutherford leitete die rutherfordsche Streuformel aus der klassischen Physik her. Eine vollständige quantenmechanische Behandlung des Problems mit Hilfe der bornschen Näherung ergibt, dass die rutherfordsche Streuformel in erster Ordnung korrekt ist und quantenmechanische Effekte nur kleine Korrekturen darstellen. Ein weiteres Problem der rutherfordschen Formel ist der Grenzfall \vartheta=0, für die der differentielle Wirkungsquerschnitt unendlich groß wird. Kleine Winkel entsprechen jedoch einem großen Stoßparameter. Bei sehr großen Stoßparametern schirmen die Atomelektronen den Kern jedoch ab. Die einzige Möglichkeit sehr kleine Winkel bei kleinen Stoßparametern zu haben, ist die Energie der α-Teilchen zu erhöhen. Für sehr hohe Energien kann die Ladungsverteilung des Atomkerns jedoch nicht mehr als punktförmig angenommen werden. Dann geht der Formfaktor der Ladungsverteilung zusätzlich in die Streuformel ein. Außerdem kann man bei hohen Projektilenergien nicht mehr davon ausgehen, dass die Streuung nur durch elektromagnetische Wechselwirkung geschieht. Nähern sich beide Kerne bis zu einem Kontaktradius, spielt die starke Wechselwirkung eine größere Rolle.

Plausibilitätsbetrachtung der Abhängigkeiten[Bearbeiten]

Nach den Feynman-Regeln ergibt sich für die Streuung eines Teilchens der Ladung Z_1 e an einem zweiten Teilchen der Ladung Z_2 e für die Wahrscheinlichkeitsamplitude

 M_{fi} \sim (Z_1 e)\cdot(Z_2 e) \;\textrm{,}

wobei der Propagator vernachlässigt wurde. Nach Fermis Goldener Regel gilt

 \frac{d\sigma}{d\Omega} \sim |M_{fi}|^2 \;\textrm{,}

womit folgt, dass

 \frac{d\sigma}{d\Omega} \sim (Z_1 e)^2\cdot(Z_2 e)^2=(Z_1 Z_2 e^2)^2 \;\textrm{.}

Herleitung der Rutherford-Streuformel[Bearbeiten]

Aufgrund der abstoßenden Wirkung der Coulombkraft F = \frac{{Z_1 Z_2 e^2 }}{{4\pi \varepsilon _0 r^2 }}


ergibt sich für die Bahn des Alphateilchens (Z_1=2) eine Hyperbel.

Rutherfordstreuung aus atomarer Sicht

Die große Halbachse a der Hyperbel lässt sich aus dem Ansatz

E_\mathrm{kin}  = e\Phi _c  = \frac{Z_1 Z_2 e^2 }{4\pi \varepsilon _0 2a} = \frac{Z_1 Z_2 e^2 }{8\pi \varepsilon _0 a}

bestimmen, wobei 2a der minimale Abstand des Alphateilchens ist, wenn es zentral mit dem Kern stößt. a ist von der kinetischen Energie abhängig und kann auch für Stöße, die nicht zentral sind, übernommen werden. Der Stoßparameter b ist der minimale Abstand des Alphateilchens zum Kern, wenn es auf einer Geraden weiter fliegen würde. Tatsächlich wird das Alphateilchen um den Winkel \vartheta gestreut. Aus der Geometrie der Hyperbel erhält man folgende Gleichungen:

\tan \left( \alpha  \right) = \frac{b}{a} = \tan \left(90^\circ  - \frac{\vartheta }{2}\right) = \cot \left( {\frac{\vartheta }{2}} \right)\text{, da }\quad 2\alpha  + \vartheta  = 180^\circ

und damit

\cot \frac{\vartheta}{2} = \frac{b}{a} = \frac{8\pi \varepsilon _0 E_\mathrm{kin}}{Z_1 Z_2 e^2 } b.

Durch Ableitung der letzten Formel erhält man einen Zusammenhang zwischen der Breite db eines Hohlkegels und der zugehörigen Breite d\vartheta des Ablenkwinkels 
\vartheta.

 - \frac{1}{2\sin ^2 \frac{\vartheta }{2}} d\vartheta  = \frac{8\pi \varepsilon _0 E_\mathrm{kin}}{Z_1 Z_2 e^2 }db
Wirkungsquerschnitt beim Durchgang der Alphateilchen durch die Folie

Sei z = \frac{n}{V} die Teilchendichte (n Atome pro Volumen V) des Streumaterials und x die Dicke der Folie, so gibt \sigma  = \frac{A}{n} = \frac{\frac{V}{x}}{n} = \frac{1}{zx} die durchschnittliche Querschnittsfläche pro Atom an, die das Alphateilchen beim Durchgang durch die Folie erfährt. \sigma nennt man auch den Wirkungsquerschnitt.


Die Wahrscheinlichkeit P(\vartheta )d\vartheta im Ring des Hohlzylinders zu landen ergibt sich dann aus

P(\vartheta )d\vartheta  = \frac{A_b}{\sigma} = \frac{2\pi bdb}{\frac{1}{zx}} = zx2\pi bdb.
Streukegel beim Rutherfordversuch


Von N Teilchen werden dN' in den Hohlkegel gestreut. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist

P(\vartheta )d\vartheta  = \frac{dN'}{N} = zx2\pi bdb = zx2\pi \frac{Z_1 Z_2 e^2}{8\pi \varepsilon _0 E_\mathrm{kin}} \cot \frac{\vartheta}{2} \cdot \frac{Z_1 Z_2 e^2}{8\pi \varepsilon _0 E_\mathrm{kin}} \cdot \frac{1}{2\sin ^2 \frac{\vartheta }{2}} d\vartheta  = zx\frac{Z_1 ^2 Z_2 ^2 e^4 }{64\pi \varepsilon _0 ^2 E_\mathrm{kin} ^2 } \cdot \frac{\cos \frac{\vartheta }{2}}{\sin ^3 \frac{\vartheta}{2}}d\vartheta


dN gibt die Anzahl der Teilchen in den Raumwinkel d\Omega an.

d\Omega  = 2\pi \sin (\vartheta )d\vartheta  = 4\pi \sin \frac{\vartheta}{2} \cos \frac{\vartheta}{2} d\vartheta


Daraus folgt :

d\vartheta  = \frac{1}
{{4\pi \sin \frac{\vartheta }
{2}\cos \frac{\vartheta }
{2}}}d\Omega .

So ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit


\frac{{dN}}
{N} = zx\frac{{Z_1 ^2 Z_2 ^2 e^4 }}
{{256\pi ^2 \varepsilon _0 ^2 E_\mathrm{kin} ^2 }} \cdot \frac{1}
{{\sin ^4 \frac{\vartheta }
{2}}}d\Omega


Dies ist die Rutherford-Streuformel. Sie gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für ein Teilchen ist, in den Raumwinkel d\Omega gestreut zu werden.

Oft wird die Streuformel mit Hilfe des differentiellen Wirkungsquerschnitts 
\frac{{d\sigma }}
{{d\Omega }}
angegeben. Er ist ein Maß für die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Es gilt


\frac{{dN}}
{N} = \frac{{d\sigma }}
{\sigma } = z \cdot x \cdot \,\,d\sigma

und damit


\frac{{d\sigma }}
{{d\Omega }} = \frac{{Z_1 ^2 Z_2 ^2 e^4 }}
{{256\pi ^2 \varepsilon _0 ^2 E_\mathrm{kin} ^2 }} \cdot \frac{1}
{{\sin ^4 \frac{\vartheta }
{2}}} = \left( {\frac{{Z_1 Z_2 e^2 }}
{{4\pi \varepsilon _0  \cdot 4 \cdot E_{Kin} }}} \right)^2  \cdot \frac{1}
{{\sin ^4 \frac{\vartheta }
{2}}}

.

Bemerkungen

1) \vartheta  = 0 ist nicht definiert, da es einen minimalen Ablenkwinkel \vartheta _{\min}gibt. Dieser wird angenommen, wenn sich das Alphateilchen im Abstand b = b_{\max} vom Atom, also am Rand der kreisförmigen Wirkungsquerschnittsfläche bewegt. Für einen größeren Stoßparameter b befindet sich das Alphateilchen im Streufeld des Nachbaratoms und der Ablenkwinkel nimmt wieder zu. Dabei gilt:

\sigma  = \frac{A}{n} = b_{\max}^2  \cdot \pi
und
\tan \frac{\vartheta _{\min}}{2} = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{8\pi \varepsilon _0 E_\mathrm{kin}  \cdot b_{\max}}.

2) Das Integral über die Wahrscheinlichkeitsverteilung P(\vartheta )d\vartheta ergibt 1


\int\limits_{\vartheta _{\min }}^\pi  {P(\vartheta )d\vartheta }  = 1

3) Ähnliches gilt für die Flächenintegrale


\int\limits_{\vartheta  \geqslant \vartheta _{\min} } {zx\frac{{Z_1 ^2 Z_2 ^2 e^4 }}
{{256\pi ^2 \varepsilon _0 ^2 E_\mathrm{kin} ^2 }} \cdot \frac{1}
{{\sin ^4 \frac{\vartheta }
{2}}}d\Omega }  = 1
und

\int\limits_{\vartheta  \geqslant \vartheta _{\min} } {\left( {\frac{{Z_1 Z_2 e^2 }}
{{4\pi \varepsilon _0  \cdot 4 \cdot E_\mathrm{kin}}}} \right)^2  \cdot \frac{1}
{{\sin ^4 \frac{\vartheta }
{2}}}} d\Omega  = \sigma

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]