Satz von Cochran

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In der Statistik wird der Satz von Cochran in der Varianzanalyse verwendet. Der Satz geht auf den schottischen Mathematiker William Gemmell Cochran zurück.

Man nimmt an seien stochastisch unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen, und es gilt

wobei jedes die Summe der Quadrate von Linearkombinationen der s darstellt. Ferner nimmt man an, dass

wobei der Rang von ist. Der Satz von Cochran besagt, dass die unabhängig sind mit einer Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden.

Der Satz von Cochran ist die Umkehrung des Satzes von Fisher.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ sind, dann gilt

ist standardnormalverteilt für jedes i.

Jetzt kann man folgendes schreiben

Damit man diese Identität erkennt, muss man auf beiden Seiten mit multiplizieren und beachten, dass gilt

und erweitert, um zu zeigen

Der dritte Term ist null, weil dies gleich einer Konstante mal

ist, und der zweite Term besteht nur aus n identischen Termen, die zusammengefügt wurden.

Kombiniert man die obigen Ergebnisse und teilt anschließend durch σ2, dann erhält man:

Jetzt ist der Rang von gerade gleich 1 (es ist das Quadrat von nur einer Linearkombination der standardnormalverteilten Zufallsvariablen). Der Rang von ist gleich , und daher sind die Bedingungen des Satzes von Cochran erfüllt.

Der Satz von Cochran besagt dann, dass und unabhängig sind, mit einer Chi-Quadrat-Verteilung mit und Freiheitsgrad.

Dies zeigt, dass der Mittelwert und die Varianz unabhängig sind; Ferner gilt

Um die Varianz zu schätzen, wird ein häufig verwendeter Schätzer benutzt

Der Satz von Cochran zeigt, dass

was zeigt, dass der Erwartungswert von gleich ist.

Beide Verteilungen sind proportional zur wahren aber unbekannten Varianz Daher ist ihr Verhältnis unabhängig von , und weil sie unabhängig sind, erhält man

,

wobei die F-Verteilung mit und Freiheitsgraden darstellt (siehe auch Student's t-Verteilung).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Cochran, W. G.: The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (2): 178–191, 1934.
  • Bapat, R. B.: Linear Algebra and Linear Models. Zweite Auflage (1990). Springer. ISBN 978-0-387-98871-9