Satz von Cochran

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In der Statistik wird der Satz von Cochran in der Varianzanalyse verwendet. Der Satz geht auf den schottischen Mathematiker William Gemmell Cochran zurück.

Man nimmt an U1, ..., Un seien stochastisch unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen, und es gilt

wobei jedes Qi die Summe der Quadrate von Linearkombinationen der Us darstellt. Ferner nimmt man an, dass

wobei ri der Rang von Qi ist. Der Satz von Cochran besagt, dass die Qi unabhängig sind mit einer Chi-Quadrat-Verteilung mit ri Freiheitsgraden.

Der Satz von Cochran ist die Umkehrung des Satzes von Fisher.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls X1, ..., Xn unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ sind, dann gilt

ist standardnormalverteilt für jedes i.

Jetzt kann man folgendes schreiben

Damit man diese Identität erkennt, muss man auf beiden Seiten mit multiplizieren und beachten, dass gilt

und erweitert, um zu zeigen

Der dritte Term ist null, weil dies gleich einer Konstante mal

ist, und der zweite Term besteht nur aus n identischen Termen, die zusammengefügt wurden.

Kombiniert man die obigen Ergebnisse und teilt anschließend durch σ2, dann erhält man:

Jetzt ist der Rang von Q2 gerade gleich 1 (es ist das Quadrat von nur einer Linearkombination der standardnormalverteilten Zufallsvariablen). Der Rang von Q1 ist gleich n − 1, und daher sind die Bedingungen des Satzes von Cochran erfüllt.

Der Satz von Cochran besagt dann, dass Q1 und Q2 unabhängig sind, mit einer Chi-Quadrat-Verteilung mit n − 1 und 1 Freiheitsgrad.

Dies zeigt, dass der Mittelwert und die Varianz unabhängig sind; Ferner gilt

Um die Varianz σ2 zu schätzen, wird ein häufig verwendeter Schätzer benutzt

Der Satz von Cochran zeigt, dass

was zeigt, dass der Erwartungswert von von σ2 (n − 1)/n ist.

Beide Verteilungen sind proportional zur wahren aber unbekannten Varianz σ2; Daher ist ihr Verhältnis unabhängig von σ2, und weil sie unabhängig sind, erhält man

,

wobei F1,n die F-Verteilung mit 1 und n Freiheitsgraden darstellt (siehe auch Student's t-Verteilung).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Cochran, W. G.: The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (2): 178–191, 1934.
  • Bapat, R. B.: Linear Algebra and Linear Models. Zweite Auflage (1990). Springer. ISBN 978-0-387-98871-9