F-Verteilung

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Die F-Verteilung oder Fisher-Verteilung, auch Fisher-Snedecor-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher und George W. Snedecor), ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine F-verteilte Zufallsvariable ergibt sich als Quotient zweier jeweils durch die zugehörige Anzahl von Freiheitsgraden geteilter Chi-Quadrat-verteilter Zufallsvariablen. Die F-Verteilung besitzt zwei unabhängige Freiheitsgrade als Parameter und bildet so eine Zwei-Parameter-Verteilungsfamilie.

Die F-Verteilung wird häufig in einem Test verwendet (F-Test), um festzustellen, ob der Unterschied zweier Stichprobenvarianzen auf statistischer Schwankung beruht oder ob er auf unterschiedliche Grundgesamtheiten hinweist. Auch im Rahmen der Varianzanalyse wird mit einer F-Statistik auf signifikante Unterschiede zwischen Grundgesamtheiten (Gruppen) getestet.[1]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dichtefunktion der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden und
Verteilungsfunktion der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden und

Eine stetige Zufallsvariable genügt der F-Verteilung , mit Freiheitsgraden im Zähler und Freiheitsgraden im Nenner, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

besitzt. Dabei ist mit die Gammafunktion an der Stelle bezeichnet.

Historisch bildet die nachfolgende Definition den Ursprung der F-Verteilung als die Verteilung der Größe

wobei und unabhängige, χ²-verteilte Zufallsvariablen mit bzw. Freiheitsgraden sind.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erwartungswert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Erwartungswert existiert nur für und hat dann den Wert

.

Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Varianz ist nur für definiert und lautet dann

.

Verteilungsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Werte der Verteilung werden meist numerisch ermittelt und in einer Tabelle angegeben. Eine komplette Tabellierung bezüglich aller Freiheitsgrade ist i. A. nicht notwendig, sodass die meisten Verteilungstabellen die Quantile bezüglich ausgewählter Freiheitsgrade und Wahrscheinlichkeiten angeben. Man macht sich hier auch die Beziehung zunutze:

wobei das -Quantil der F-Verteilung mit und Freiheitsgraden bedeutet.

Die F-Verteilung lässt sich geschlossen ausdrücken als

wobei die regularisierte unvollständige Betafunktion darstellt.

Maximum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für nimmt an der Stelle

das Maximum an.

Entropie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Entropie der F-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

wobei die Digamma-Funktion bezeichnet.

Beziehungen zu anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Zeichen bedeutet im Folgenden „ist verteilt wie“.

Beziehung zur Beta-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zufallsvariable

ist betaverteilt mit Parametern und Es gilt:

wobei und unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Zufallsgrößen sind mit bzw. Freiheitsgraden.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus den unabhängigen und Chi-Quadrat-verteilten Zufallsgrößen mit bzw. Freiheitsgraden lässt sich

konstruieren. Diese Zufallsvariable ist -verteilt.

Beziehung zur nichtzentralen F-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für unabhängige Zufallsvariablen und ist

-verteilt

nach der nichtzentralen F-Verteilung mit Nichtzentralitäts-Parameter . Dabei ist eine nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung mit Nichtzentralitäts-Parameter und Freiheitsgraden. Für ergibt sich die zentrale F-Verteilung .

Dichte der nichtzentralen F-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

[2]

Die Funktion ist eine spezielle hypergeometrische Funktion, auch Kummersche Funktion genannt und repräsentiert die oben angegebene Dichte der zentralen F-Verteilung.

Erwartungswert und Varianz der nichtzentralen F-Verteilung sind gegeben durch

mit

und

mit

Beide ergeben bei die Formeln der zentralen F-Verteilung.

Beziehung zur Normalverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn die unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen die Parameter

besitzen, sind die jeweiligen Stichprobenvarianzen und unabhängig, und es gilt:

Deshalb unterliegt die Zufallsvariable

einer F-Verteilung mit Freiheitsgraden im Zähler und Freiheitsgraden im Nenner.

Beziehung zur Studentschen t-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn (Studentsche t-Verteilung), dann ist

Das Quadrat einer t-verteilten Zufallsvariablen mit Freiheitsgraden folgt einer F-Verteilung mit und Freiheitsgraden.

Herleitung der Dichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der F-Verteilung lässt sich herleiten (vgl. Herleitung der Dichte der Studentschen t-Verteilung) aus der gemeinsamen Dichte der beiden unabhängigen Zufallsvariablen und , die beide Chi-Quadrat-verteilt sind. [3]

Mit der Transformation

bekommt man die gemeinsame Dichte von und , wobei und gilt.

Die Jacobideterminante dieser Transformation ist:

Der Wert ist unwichtig, weil er bei der Berechnung der Determinante mit 0 multipliziert wird. Die neue Dichtefunktion schreibt sich also

Gesucht ist nun die Randverteilung als Integral über die nicht interessierende Variable :

Quantilfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das -Quantil der F-Verteilung ist die Lösung der Gleichung und damit prinzipiell über die Umkehrfunktion zu berechnen. Konkret gilt hier

mit als Inverse der regularisierten unvollständigen Betafunktion. Dieser Wert ist in der F-Verteilungstabelle unter den Koordinaten , und eingetragen.

Für einige Werte , lassen sich die Quantilsfunktionen explizit ausrechnen. Man löst das Beta-Integral mit wobei für ein paar Indizes invertierbare Funktionen auftreten:

Aus der jeweils vollständigen Zeile und Spalte kann man sogar die allgemeinen Ausdrücke für höhere Indizes ablesen. Man findet:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: Statistik. 12. Auflage, Oldenbourg 1999, S. 156 ff., ISBN 3-486-24984-3.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. P. R. Kinnear, C. D. Gray (2004): SPSS 12 MADE SIMPLE. Psychology Press. New York. S. 208–209.
  2. Eric W. Weisstein: Snedecor’s F-Distribution. In: MathWorld (englisch).
  3. Frodesen, Skjeggestad, Tofte: Probability and Statistics in Particle Physics. Universitetsforlaget, Bergen – Oslo – Tromsø S. 145 f.