Chi-Quadrat-Verteilung

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Die Chi-Quadrat-Verteilung (-Verteilung) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der nicht-negativen reellen Zahlen. Üblicherweise ist mit „Chi-Quadrat-Verteilung“ die zentrale Chi-Quadrat-Verteilung gemeint. Ihr einziger Parameter muss eine natürliche Zahl sein und wird Freiheitsgrad genannt.

Sie ist eine der Verteilungen, die aus der Normalverteilung abgeleitet werden kann: Hat man Zufallsvariablen , die unabhängig und standardnormalverteilt sind, so ist die Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden definiert als die Verteilung der Summe der quadrierten Zufallsvariablen . Solche Summen quadrierter Zufallsvariablen treten bei der Schätzung der Varianz einer Stichprobe auf. Die Chi-Quadrat-Verteilung ermöglicht damit unter anderem ein Urteil über die Kompatibilität eines vermuteten funktionalen Zusammenhangs (Abhängigkeit von der Zeit, Temperatur, Druck etc.) mit empirisch ermittelten Messpunkten. Kann z. B. eine Gerade die Daten erklären, oder braucht man doch eine Parabel oder vielleicht einen Logarithmus? Man wählt verschiedene Modelle aus, und dasjenige mit der besten Anpassungsgüte, dem kleinsten , bietet die beste Erklärung der Daten[1][2]. So stellt die -Verteilung durch die Quantifizierung der zufälligen Schwankungen die Auswahl verschiedener Erklärungsmodelle auf eine numerische Basis. Außerdem erlaubt sie, wenn man die Stichprobenvarianz bestimmt hat, die Schätzung des Vertrauensintervalls, das den (unbekannten) Wert der Varianz der Grundgesamtheit mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit einschließt. Diese und weitere Anwendungen sind weiter unten und im Artikel Chi-Quadrat-Tests beschrieben.

Die Chi-Quadrat-Verteilung wurde 1876 eingeführt von Friedrich Robert Helmert, die Bezeichnung stammt von Karl Pearson (1900).[3]

Dichten der Chi-Quadrat-Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden k

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dichte und Verteilung von mehreren Chi-Quadrat-verteilten Zufallsgrößen

Die Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden beschreibt die Verteilung der Summe stochastisch unabhängiger quadrierter standardnormalverteilter Zufallsvariablen

,  mit für .

Das Zeichen ist Kurzschreibweise für „ist verteilt wie“. Die Summe quadrierter Größen kann keine negativen Werte annehmen.

Im Unterschied dazu gilt für die einfache Summe mit um den Nullpunkt symmetrischer Verteilung.

Dichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dichte der -Verteilung mit Freiheitsgraden hat die Form:

Dabei steht für die Gammafunktion. Die Werte von kann man mit

.

berechnen.

Verteilungsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Verteilungsfunktion kann man mit Hilfe der regularisierten unvollständigen Gammafunktion schreiben:

Wenn eine natürliche Zahl ist, dann kann die Verteilungsfunktion (mehr oder weniger) elementar dargestellt werden:

wobei Erf die Fehlerfunktion bezeichnet. Die Verteilungsfunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass im Intervall liegt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erwartungswert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Erwartungswert der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden ist

.

Unter der Voraussetzung einer standardnormalverteilten Grundgesamtheit sollte also bei richtiger Abschätzung der Varianz der Grundgesamtheit der Wert in der Nähe von 1 liegen.

Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Varianz der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden ist

.

Modus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Modus der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden ist für .

Schiefe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Schiefe der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden ist

.

Die Chi-Quadrat-Verteilung besitzt eine positive Schiefe, d. h. sie ist linkssteil bzw. rechtsschief. Je höher die Anzahl der Freiheitsgrade , desto weniger schief ist die Verteilung.

Kurtosis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kurtosis (Wölbung) der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden ist gegeben durch

.

Der Exzess gegenüber der Normalverteilung ergibt sich damit zu  .[4] Daher gilt: Je höher die Anzahl der Freiheitsgrade , desto geringer der Exzess.

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion für hat die Form[5]

.

Charakteristische Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die charakteristische Funktion für ergibt sich aus der momenterzeugenden Funktion als:

.

Entropie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Entropie der Chi-Quadrat-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

wobei ψ(p) die Digamma-Funktion bezeichnet.

Summe χ2-verteilter Zufallsvariablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind unabhängige, χ2-verteilte Zufallsvariablen, mit , so gilt:

.

Darin sind die standardnormalverteilten Zufallsvariablen unabhängig, und deshalb ist die Summe wieder χ2-verteilt. Die Chi-Quadrat-Verteilung ist also reproduktiv.

Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn die normalverteilten Zufallsvariablen nicht bezüglich ihres Erwartungswertes zentriert sind (d. h. wenn nicht alle sind), erhält man die nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung. Sie hat als zweiten Parameter neben den Nichtzentralitätsparameter .

Seien , so ist

mit .

Insbesondere folgt aus und , dass ist.

Eine zweite Möglichkeit, eine nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung zu erzeugen, ist als Mischverteilung der zentralen Chi-Quadrat-Verteilung. Dabei ist

,

wenn aus einer Poisson-Verteilung gezogen wird.

Dichtefunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dichtefunktion der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung ist

für , für .

Die Summe über j führt auf eine modifizierte Bessel-Funktion erster Gattung . Damit erhält die Dichtefunktion folgende Form:

für .

Erwartungswert und Varianz der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung und gehen ebenso wie die Dichte selbst bei in die entsprechenden Ausdrücke der zentralen Chi-Quadrat-Verteilung über.

Verteilungsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Verteilungsfunktion der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung kann mit Hilfe der Marcum-Q-Funktion ausgedrückt werden. [6]

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man macht Messungen einer Größe , die aus einer normalverteilten Grundgesamtheit stammen. Sei der Mittelwert der gemessenen Werte und

die Stichprobenvarianz. Dann lässt sich z. B. das 95 %-Konfidenzintervall für die Varianz angeben:

wobei durch und durch bestimmt wird, und deshalb auch . Die Grenzen ergeben sich daraus, dass wie verteilt ist.

Herleitung der Verteilung der Stichprobenvarianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Stichprobe von Messwerten, gezogen aus einer normalverteilten Zufallsvariablen mit arithmetischem Mittelwert und Stichprobenvarianz als Schätzfunktionen für Erwartungswert und Varianz der Grundgesamtheit.

Dann lässt sich zeigen, dass verteilt ist wie .

Dazu werden nach Helmert[7] die mittels einer orthonormalen Linearkombination in neue Variablen transformiert. Die Transformation lautet:

   

Die neuen unabhängigen Variablen sind wie normalverteilt mit gleicher Varianz , aber mit Erwartungswert beides aufgrund der Faltungsinvarianz der Normalverteilung.

Außerdem gilt für die Koeffizienten in (falls , ist ) wegen der Orthonormalität (Kronecker-Delta) und damit

Deshalb ergibt sich nun

und schlussendlich nach Division durch

Der Ausdruck auf der linken Seite ist offenbar verteilt wie eine Summe von quadrierten standardnormalverteilten unabhängigen Variablen mit Summanden, wie für gefordert.

Demnach ist also , während laut Definition der Chi-Quadrat-Summe . Ein Freiheitsgrad wird hier 'verbraucht', denn im Gegensatz zum Erwartungswert der Grundgesamtheit ist der berechnete arithmetische Mittelwert von den abhängig.

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beziehung zur Gammaverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist ein Spezialfall der Gammaverteilung. Ist , so gilt

Beziehung zur Normalverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quantile einer Normalverteilung und einer Chi-Quadrat-Verteilung
  • Die Summe von unabhängigen quadrierten standardnormalverteilten Zufallsvariablen genügt einer Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden.
  • Für ist näherungsweise standardnormalverteilt.
  • Für ist die Zufallsvariable näherungsweise normalverteilt, mit Erwartungswert und Standardabweichung bzw. bei einer nicht-zentralen Chi-Quadrat-Verteilung mit Erwartungswert und Standardabweichung .

Beziehung zur Exponentialverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit 2 Freiheitsgraden ist eine Exponentialverteilung mit dem Parameter .

Beziehung zur Erlang-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden ist identisch mit einer Erlang-Verteilung mit Freiheitsgraden und .

Beziehung zur F -Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn und unabhängige -verteilte Zufallsvariablen mit den Freiheitsgraden und sind, dann ist der Quotient

eine Zufallsvariable, die der F-Verteilung mit den Freiheitsgraden genügt.

Beziehung zur Poisson-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Verteilungsfunktionen der Poisson-Verteilung und der -Verteilung hängen auf folgende Weise zusammen:

Die Wahrscheinlichkeit, oder mehr Ereignisse in einem Intervall zu finden, innerhalb dessen man im Mittel Ereignisse erwartet, gleicht der Wahrscheinlichkeit, dass der Wert von ist. Es gilt nämlich

mit und als regularisierte Gammafunktionen.

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für gerade kann man die -Verteilung als -fache Faltung bilden mit Hilfe der gleichmäßig stetigen Dichte :

,

worin die unabhängige gleichmäßig stetig verteilte Zufallsvariablen sind.

Für ungerade gilt dagegen

Herleitung der Dichtefunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dichte der Zufallsvariable , mit unabhängig und standardnormalverteilt, ergibt sich aus der gemeinsamen Dichte der Zufallsvariablen . Diese gemeinsame Dichte ist das -fache Produkt der Standardnormalverteilungsdichte:

Für die gesuchte Dichte gilt:

mit

Im Grenzwert ist die Summe im Argument der Exponentialfunktion gleich z, sie darf deshalb vor das Integral und den Limes gezogen werden.

Das verbleibende Integral

entspricht dem Volumen der Schale zwischen der Kugel mit Radius und der Kugel mit Radius ,

wobei das Volumen der n-dimensionalen Kugel mit Radius R angibt.

Es folgt:

und nach Einsetzen in den Ausdruck für die gesuchte Dichte:

.

Quantilfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Quantilfunktion der -Verteilung ist die Lösung der Gleichung und damit prinzipiell über die Umkehrfunktion zu berechnen. Konkret gilt hier

mit als Inverse der regularisierten unvollständigen Gammafunktion. Dieser Wert ist in der Quantiltabelle unter den Koordinaten und eingetragen.

Quantilfunktion für kleinen Stichprobenumfang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für wenige Werte (1, 2, 4) kann man die Quantilfunktion auch alternativ angeben:

wobei die Fehlerfunktion, den unteren Zweig der Lambertschen W-Funktion bezeichnet und die Eulersche Zahl.

Näherung der Quantilfunktion für feste Wahrscheinlichkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für bestimmte feste Wahrscheinlichkeiten lassen sich die zugehörigen Quantile durch die einfache Funktion des Stichprobenumfangs

mit den Parametern aus der Tabelle annähern, wobei die Signum Funktion bezeichnet, die einfach das Vorzeichen ihres Arguments darstellt:

0,005 0,01 0,025 0,05 0,1 0,5 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995
-3,643 -3,298 -2,787 -2,34 -1,83 0 1,82 2,34 2,78 3,29 3,63
1,8947 1,327 0,6 0,082 -0,348 -0,67 -0,58 -0,15 0,43 1,3 2
-2,14 -1,46 -0,69 -0,24 0 0,104 -0,34 -0,4 -0,4 -0,3 0

Der Vergleich mit einer -Tabelle zeigt ab einen relativen Fehler unter 0,4 %, ab unter 0,1 %. Da die -Verteilung für große in eine Normalverteilung mit Standardabweichung übergeht, besitzt der Parameter aus der Tabelle, der hier frei gefittet wurde, bei der entsprechenden Wahrscheinlichkeit etwa die Größe des -fachen des Quantils der Normalverteilung (), wobei die Umkehrfunktion der Fehlerfunktion bedeutet.

Das 95 % - Konfidenzintervall der Varianz aus dem Abschnitt Beispiel kann z. B. mit den beiden Funktionen aus den Zeilen mit und auf einfache Weise als Funktion von grafisch dargestellt werden.

Der Median befindet sich in der Spalte der Tabelle mit

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: Statistik. 12. Auflage. Oldenbourg, 1999, ISBN 3-486-24984-3, S. 152 ff.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. R. Barlow: Statistics Wiley, 1989, S. 152 (Goodness of Fit).
  2. Kendall/Stuart: The Advanced Theory Of Statistics Vol. 2 Third Edition, London, 1973, S. 436 (Goodness of Fit).
  3. F. R. Helmert. In: Zeitschrift fuer Math. und Physik 21, 1876, S. 102-219. Karl Pearson: On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is such that it Can Reasonably Be Supposed to have Arisen from Random Sampling. In: Philosophical Magazine 5, Band 50, 1900, S. 157-175. Zitiert nach L. Schmetterer: Mathematische Statistik. Springer, Wien 1966, S. 93
  4. Wolfram Mathworld
  5. A. C. Davison: Statistical Models, Cambridge University Press 2008, ISBN 1-4672-0331-9, Kapitel 3.2
  6. Albert H. Nuttall: Some Integrals Involving the QM Function. In: IEEE Transactions on Information Theory. Nr. 21, 1975, ISSN 0018-9448, S. 95–96 (IEEE Xplore).
  7. Helmert, Astronomische Nachrichten 88, 1876, S.113-132

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]