Satz von Jegorow

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Der Satz von Jegorow[1] ist ein Satz aus der Maßtheorie, der den Zusammenhang zwischen punktweiser Konvergenz μ-fast überall und fast gleichmäßiger Konvergenz zeigt. Er wurde 1911 von Dmitri Fjodorowitsch Jegorow bewiesen.

Satz[Bearbeiten]

Gegeben sei ein endlicher Maßraum  (X, \mathcal A , \mu) sowie messbare Funktionen

 f, (f_n)_{n \in \N}: X \to \mathbb K .

Konvergiert die Funktionenfolge  (f_n)_{n \in \N} punktweise μ-fast überall gegen  f , so konvergiert sie auch fast gleichmäßig gegen  f .[2],[3]

Bemerkung[Bearbeiten]

Da aus der fast gleichmäßigen Konvergenz immer die Konvergenz fast überall folgt, liefert der Satz von Jegorow im Fall eines endlichen Maßraumes die Äquivalenz der beiden Konvergenzarten.

Beispiel[Bearbeiten]

Das folgende Beispiel zeigt, dass die Aussage bei nicht endlichen Maßraumen im Allgemeinen falsch ist. Betrachtet man die Funktionenfolge

 f_n(x)=\chi_{[n,n+1]}(x)

auf dem Maßraum  (\R, \mathcal B (\R), \lambda) , so konvergiert diese Funktionenfolge punktweise (fast überall) gegen 0, denn für beliebiges  x ist für  n \geq \lceil x \rceil +1 immer

 f_n(x)-0=\chi_{[n,n+1]}(x)-0=0 .

Aber die Folge konvergiert nicht fast gleichmäßig gegen 0, denn ist 0 < \varepsilon < 1, so gilt für jede messbare Menge A\subset \R mit Maß kleiner \varepsilon und jedes n\in \N, dass [n,n+1]\setminus A \not= \emptyset, denn [n,n+1] hat Maß 1, kann also nicht in A enthalten sein, und daher

  \sup_{x \in \R \setminus A} |f_n(x)-0| =1

für alle  n \in \N , das heißt auf keinem Komplement einer Menge des Maßes kleiner \varepsilon kann gleichmäßige Konvergenz vorliegen.

Ursprüngliche Formulierung[Bearbeiten]

In der Originalarbeit von Jegorow wurde der Satz nur für Funktionen auf einem Intervall formuliert:

Théorème – Si l'on a une suite de fonctions mesurables convergente pour tous les point d'un intervalle AB sauf, peut-être, les points d'un ensemble de mesure nulle, on pourra tourjours enlever de l'intervalle AB un ensemble de mesure \eta aussi petite qu'on voudra e tel que pour l'ensemble complémentaire [ de mesure = m(AB)-\eta ] la suite est uniformément convergente.[4]

Übersetzung: Wenn man eine Folge messbarer Funktionen hat, die für alle Punkte eines Intervalls AB konvergiert, bis auf möglicher Weise die Punkte einer Menge des Maßes Null, so kann man stets aus dem Intervall AB eine Menge des Maßes \eta, das so klein ist wie man auch will, entfernen, so dass die Folge auf der Komplementmenge [ mit Maß m(AB)-\eta ] gleichmäßig konvergent ist.

Der heutige Begriff der fast gleichmäßigen Konvergenz war noch nicht in Verwendung. Jegorow schlug in derselben Arbeit vor, diese Konvergenz nach Hermann Weyl wesentlich gleichmäßig zu nennen.

Siehe auch[Bearbeiten]

  • Vektorielles Maß: für eine Verallgemeinerung des Satzes für Maße mit Werten in einem Banachraum

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Auch als Satz von Egorow, Egorov oder Egoroff zu finden (s. Natanson, 1977)
  2. S. Elstrodt, 2005, VI., § 3.
  3. Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Satz 3.1.3: Egoroff's theorem
  4. D. Th. Egorofff: Sur les suites des fonctions mesurables: Comptes rendus 152 (1911), Seiten 244-246