Satz von Seifert und van Kampen

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Der Satz von Seifert und van Kampen (benannt nach Herbert Seifert und Egbert van Kampen) ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der algebraischen Topologie. Er macht eine Aussage über die Struktur der Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes X, indem man die Fundamentalgruppen zweier offener, wegzusammenhängender Unterräume U und V, welche X überdecken, betrachtet. So kann man die Fundamentalgruppe von komplizierten Räumen aus denjenigen einfacherer Räume berechnen.

Die einfache Hälfte des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein wegzusammenhängender punktierter Raum. Weiter sei eine offene Überdeckung von X durch wegzusammenhängende Teilmengen, die alle den Punkt * enthalten und deren paarweise Schnitte jeweils auch wegzusammenhängend sind.

Für sei die Inklusion. Dann wird erzeugt von den Untergruppen

Die Aussage ist also, dass die relativen Homotopieklassen in X von geschlossenen Wegen, die ganz in einem verlaufen, die Fundamentalgruppe von X erzeugen. Insbesondere ist X einfach zusammenhängend, wenn jedes diese Eigenschaft besitzt.

Der eigentliche Satz von Seifert und van Kampen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien ein wegzusammenhängender topologischer Raum, offen und wegzusammenhängend, sodass gilt, und . Auch sei wegzusammenhängend. Zu den Inklusionen von nach gehören (nicht notwendigerweise injektive) Homomorphismen

Zu den Inklusionen von nach gehören Homomorphismen

Offensichtlich gilt hierbei Es seien weiter H eine beliebige Gruppe, und Gruppenhomomorphismen mit der Eigenschaft

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus , sodass

Also sagt der Satz von Seifert und van Kampen eine universelle Abbildungseigenschaft der ersten Fundamentalgruppe aus.

Kombinatorische Version[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Sprache der kombinatorischen Gruppentheorie ist das amalgamierte Produkt von und über via der Homomorphismen und . Wenn diese drei Fundamentalgruppen folgende Präsentierungen haben:

,
und
,

dann kann die Amalgamierung als

präsentiert werden. Die Fundamentalgruppe von ist also erzeugt von den Schleifen in den Teilräumen und ; als zusätzliche Relationen kommt nur hinzu, dass eine Schleife im Schnitt unabhängig davon, ob man sie als Element von oder von auffasst, dasselbe Element repräsentiert.

Beispiel zum Hilfssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man nehme die n-dimensionale Sphäre und zwei verschiedene Punkte aus . Dann sind und wegzusammenhängend. Ihr Durchschnitt ist wegen auch wegzusammenhängend.

Nun ist aber , mittels der stereographischen Projektion, homöomorph zu . Da kontrahierbar ist, gilt dies also auch für und und daher haben diese triviale Fundamentalgruppen. Dies ist nicht vom Fußpunkt abhängig. Daher ist auch trivial.

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn die Fundamentalgruppe trivial ist, dann sagt der Satz von Seifert und van Kampen, dass das freie Produkt von und ist. Es wird von diesen Gruppen erzeugt und zwischen den Erzeugern gibt es keine Relationen, die nicht schon in oder gewesen wären. Insbesondere sind und injektiv.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]