Schur-Zerlegung

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Als Schur-Zerlegung oder Schursche Normalform (nach Issai Schur) bezeichnet man in der Linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Matrix-Zerlegung, genauer ein Trigonalisierungsverfahren.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

sei eine quadratische Matrix mit Einträgen aus (also , wobei entweder für oder für steht). Zerfällt das charakteristische Polynom von über in Linearfaktoren, so existiert eine unitäre Matrix , sodass

( ist die zu adjungierte Matrix)

eine obere Dreiecksmatrix ist. Da unitär ist, folgt ; eine solche Darstellung heißt Schur-Zerlegung von .

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Da eine obere Dreiecksmatrix ist, kann sie als Summe einer Diagonalmatrix und einer strikten oberen Dreiecksmatrix dargestellt werden ():
Es gilt dann:
  • ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Diagonalelemente und wird als der Diagonalanteil der Schur-Zerlegung bezeichnet.
  • ist nilpotent, im Allgemeinen nur bezüglich ihrer Frobeniusnorm eindeutig und wird der nilpotente Anteil der Schur-Zerlegung genannt.
  • Die Frobeniusnorm von ist genau dann 0, wenn normal ist.
  • Wegen der Ähnlichkeit der Ausgangsmatrix und der oberen Dreiecksmatrix stehen auf der Hauptdiagonale von die Eigenwerte von .
  • Ist eine normale Matrix, dann ist sogar eine Diagonalmatrix und die Spaltenvektoren von sind die Eigenvektoren von . Die Schur-Zerlegung von wird dann als Spektralzerlegung von bezeichnet.
  • Wenn positiv definit ist, dann ist die Schur-Zerlegung von dasselbe wie die Singulärwertzerlegung von .

Konstruktion einer Schur-Zerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei . Zunächst muss ein Eigenwert und ein entsprechender Eigenvektor zu gefunden werden. Nun werden Vektoren gewählt, so dass eine orthonormale Basis in bilden. Diese Vektoren bilden die Spalten einer Matrix mit

,

wobei eine Matrix ist. Nun wird dieser Vorgang für wiederholt. Es entsteht eine unitäre Matrix mit

,

wobei eine Matrix ist. Dann gilt

,

wobei mit gilt. Die gesamte Prozedur wird -mal wiederholt, bis die Matrizen vorliegen. Dann ist eine unitäre Matrix und eine obere Dreiecksmatrix. Damit ist die Schur-Zerlegung der Matrix bestimmt.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachte beispielsweise die Matrix mit den Eigenwerten (die Matrix ist nicht diagonalisierbar, weil die Dimension des mit diesem Eigenwert assoziierten Eigenraums 1 beträgt).

Wir wählen als Basis für den Anfang die Standard-Basis , wobei den -ten Einheitsvektor bezeichnet.

Für bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, zum Beispiel mit Darstellung und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B. . Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformation und berechnen daraus lässt sich ablesen, dass .

Für bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, z. B. mit Darstellung und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B. . Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformation und berechnen .

Wie oben gezeigt, kann die Basis beliebig gewählt werden, allerdings wird die Sache sehr einfach und interessant, wenn die Wahl der Standardbasis durchgezogen wird (sofern möglich). Dadurch ändern sich die vorherigen Schritte wie folgt:

Für bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, z. B. mit Darstellung und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B. . Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformation und berechnen daraus lässt sich ablesen, dass .

Für bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, z. B. mit Darstellung und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B. . Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformation und berechnen .

Hier ist die Berechnung der Darstellung der Vektoren in der richtigen Basis sozusagen intuitiv und somit auch weniger fehleranfällig, zudem ist die finale Basistransformation hier auch eine Dreiecksmatrix.

Mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren kann die erhaltene Basistransformationsmatrix zu einer unitären Matrix gemacht werden, wie verlangt.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]