Charakteristisches Polynom

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Das charakteristische Polynom (CP) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Dieses Polynom, das für quadratische Matrizen und Endomorphismen endlichdimensionaler Vektorräume definiert ist, gibt Auskunft über einige Eigenschaften der Matrix bzw. der linearen Abbildung.

Die Gleichung, in der das charakteristische Polynom gleich null gesetzt wird, wird manchmal Säkulargleichung genannt. Ihre Lösungen sind die Eigenwerte der Matrix bzw. der linearen Abbildung. Eine Matrix, in ihr charakteristisches Polynom eingesetzt, ergibt die Nullabbildung (Satz von Cayley-Hamilton).

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das charakteristische Polynom einer quadratischen -Matrix mit Einträgen aus einem Körper wird definiert durch:

Hierbei bezeichnet die -dimensionale Einheitsmatrix und die Determinante. Die Matrix wird auch als charakteristische Matrix von bezeichnet.

Die Definition des charakteristischen Polynoms als ist ebenfalls gebräuchlich. Für ungerades unterscheidet sie sich durch den Faktor von der obigen Definition, das heißt, das Polynom ist dann nicht mehr normiert.

Ist ein -dimensionaler -Vektorraum und ein Endomorphismus, dann ist das charakteristische Polynom gegeben durch:

wobei eine Darstellungsmatrix des Endomorphismus bzgl. einer Basis ist. Das charakteristische Polynom von hängt nicht von der gewählten Basis ab.

Das charakteristische Polynom ist ein normiertes Polynom -ten Grades aus dem Polynomring . Die Notation für das charakteristische Polynom ist sehr uneinheitlich, andere Varianten sind beispielsweise oder bei Bourbaki .

Zusammenhang mit Eigenwerten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das charakteristische Polynom spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix, denn die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Auch wenn man zum expliziten Berechnen des charakteristischen Polynoms immer eine Basis und damit eine Darstellungsmatrix auswählt, hängen das Polynom wie auch die Determinante nicht von dieser Wahl ab.

Um zu zeigen, dass die Eigenwerte gerade die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, geht man folgendermaßen vor:

Es sei und eine -Matrix über . Dann gelten die folgenden Äquivalenzen:

ist ein Eigenwert von .
Es gibt ein mit .
Es gibt ein mit .
Der Kern von besteht nicht nur aus dem Nullvektor, d. h.
Die durch induzierte lineare Abbildung ist nicht injektiv
ist nicht invertierbar.
ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms von .

Numerisches Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gesucht ist das charakteristische Polynom der Matrix

Gemäß der obigen Definition rechnet man wie folgt:

Damit sind 1, −1 und 4 die Nullstellen des charakteristischen Polynoms und somit auch die Eigenwerte der Matrix . Da jede Nullstelle die Multiplizität 1 hat, ist in diesem Beispiel das charakteristische Polynom zugleich das Minimalpolynom.

Formeln für die Koeffizienten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms zu charakterisieren:

Charakterisierung der Koeffizienten als Lösung eines linearen Gleichungssystems[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms kann man durch Lösen des folgenden linearen Gleichungssystem ermitteln.

Dies lässt sich damit begründen, dass das System eine kompakte äquivalente Formulierung des Algorithmus von Faddejew-Leverrier ist.

Da die Koeffizienten-Matrix eine linke untere Dreiecksmatrix ist, kann das lineare Gleichungssystem sukzessive durch Vorwärtseinsetzen gelöst werden und es lässt sich folgende allgemeine Formel für die angeben:

Darstellung der Koeffizienten durch Determinanten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann nun entweder durch Anwenden der Cramerschen Regel auf das obige LGS oder -- völlig unabhängig davon -- mit Hilfe der Plemelj-Smithies-Formeln folgende Darstellung gewinnen:

Darstellung der Koeffizienten mit Hilfe von Bell-Polynomen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ebenfalls aus den Plemelj-Smithies-Formeln folgt folgende äquivalente Darstellung mit vollständigen Bell-Polynomen:

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. Beispiel:

Es ist und .

Daraus folgt:

2. Beispiel:

Es ist , und .

Daraus folgt:

3. Beispiel:

Es ist , , und .

Daraus folgt:

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gelten stets folgende Beziehungen:

Algorithmen zur Ermittlung der Koeffizienten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe geeigneter Verfahren, wie z. B. dem Algorithmus von Faddejew-Leverrier oder dem Algorithmus von Samuelson-Berkowitz, lassen sich die Koeffizienten von auch automatisiert (z. B. in einem Computerprogramm) ermitteln.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die charakteristischen Polynome zweier ähnlicher Matrizen sind gleich. Die Umkehrung ist jedoch im Allgemeinen nicht richtig.
  • Die Matrix und ihre Transponierte besitzen dasselbe charakteristische Polynom.
  • Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist eine Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms:
    .
  • Das Minimalpolynom einer linearen Abbildung teilt deren charakteristisches Polynom.
  • Ist eine -Matrix und eine -Matrix so gilt .
Beweis  

Aus den Matrixgleichungen

sowie der Regel

folgt

. ∎

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Oliver Deiser, Caroline Lasser: Erste Hilfe in Linearer Algebra: Überblick und Grundwissen mit vielen Abbildungen und Beispielen. Springer, 2015, ISBN 978-3-642-41627-9, S. 204 ff

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]