Selbstadjungierte Matrix

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Eine selbstadjungierte Matrix ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Es handelt sich um eine spezielle Art von quadratischen Matrizen. Sind die Koeffizienten einer selbstadjungierten Matrix reell, so ist sie gerade eine symmetrische Matrix und sind die Koeffizienten komplex, so ist sie eine hermitesche Matrix.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei der reelle oder komplexe Zahlenkörper und sei das Standardskalarprodukt auf . Eine Matrix heißt selbstadjungiert, wenn

für alle gilt.[1] Die Matrix wird hier als lineare Abbildung auf dem aufgefasst.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Matrix
mit als der imaginären Einheit ist selbstadjungiert bezüglich des Standardskalarproduktes auf , wegen
sind selbstadjungiert.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine reelle Matrix ist genau dann selbstadjungiert, wenn sie symmetrisch ist, also wenn gilt, da

.

Analog dazu ist eine komplexe Matrix genau dann selbstadjungiert, wenn sie hermitesch ist, also wenn gilt, da

.

Jede selbstadjungierte Matrix ist auch normal, das heißt, es gilt

.

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. in sechs Bänden. 1. Auflage. Band ?. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8, S. ?.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]