Skorochod-Darstellung

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Die Skorochod-Darstellung, benannt nach dem ukrainischen Mathematiker Anatoli Skorochod, ist ein Satz aus dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er stellt eine Beziehung zwischen der Konvergenz in Verteilung und der fast sicheren Konvergenz her.

Aussage[Bearbeiten]

Seien (X_n)_{n\in\N} und X Zufallsvariablen, sodass die X_n in Verteilung gegen X konvergieren: X_n \stackrel{\mathcal{D}}{\rightarrow} X. Dann gibt es einen Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) und darauf definierte Zufallsvariablen (Y_n)_{n\in\N} und Y mit:

  • X\sim_{\mathcal{D}}Y, X_n\sim_{\mathcal{D}}Y_n, d.h. X und Y sowie die X_n und die Y_n haben die gleiche Verteilung, und
  • \mathbb{P}(Y_n \rightarrow Y)=1, die Y_n konvergieren fast sicher gegen Y.

Die X,X_1,X_2,\ldots können also unbeschadet ihrer Verteilungen durch fast sicher konvergente Zufallsvariablen ersetzt werden.

Literatur[Bearbeiten]

  • Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures, John Wiley & Sons (1999), ISBN 0-471-19745-9