Skorochod-Darstellung

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Die Skorochod-Darstellung, benannt nach dem ukrainischen Mathematiker Anatoli Skorochod, ist ein Satz aus dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er stellt eine Beziehung zwischen zwei verschiedenen Konvergenzbegriffen her.

Aussage[Bearbeiten]

Seien (X_n)_{n\in\N} und X Zufallsvariablen, sodass die X_n in Verteilung gegen X konvergieren: X_n \stackrel{\mathcal{D}}{\rightarrow} X. Dann gibt es einen Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) und darauf definierte Zufallsvariablen (Y_n)_{n\in\N} und Y mit:

  • X\sim_{\mathcal{D}}Y, X_n\sim_{\mathcal{D}}Y_n, d.h. X und Y sowie die X_n und die Y_n haben die gleiche Verteilung, und
  • \mathbb{P}(Y_n \rightarrow Y)=1, die Y_n konvergieren fast sicher gegen Y.

Die X,X_1,X_2,\ldots können also unbeschadet ihrer Verteilungen durch fast sicher konvergente Zufallsvariablen ersetzt werden.

Literatur[Bearbeiten]

  • Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures, John Wiley & Sons (1999), ISBN 0-471-19745-9