Stabiles Normalenbündel

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Das stabile Normalenbündel einer Mannigfaltigkeit ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Differentialtopologie, einem Teilgebiet der Mathematik.

Idee[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Satz von Whitney hat jede Mannigfaltigkeit eine Einbettung in einen euklidischen Raum, für die man dann das Normalenbündel betrachten kann. Diese Einbettung ist in niedrigen Kodimensionen nicht eindeutig, in hinreichend hohen Kodimensionen aber eindeutig bis auf Isotopie, so dass man für Einbettungen in hochdimensionale euklidische Räume ein bis auf Isomorphismus eindeutiges Normalenbündel definieren kann.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine differenzierbare n-Mannigfaltigkeit mit Tangentialbündel . Es sei

die klassifizierende Abbildung des Tangentialbündels. Hierbei bezeichnet die Graßmann-Mannigfaltigkeit, den klassifizierenden Raum für n-dimensionale Vektorbündel.

Für eine Einbettung hat das Normalenbündel eine klassifizierende Abbildung

,

so dass die Whitney-Summe

zu einer konstanten Abbildung homotop ist.

Es sei die unendlich-dimensionale Graßmann-Mannigfaltigkeit, der klassifizierende Raum für stabile Vektorbündel. Man kann zeigen, dass die Homotopieklasse der Zusammensetzung nicht von der gewählten Einbettung abhängt. Das durch diese klassifizierende Abbildung definierte stabile Vektorbündel heißt das stabile Normalenbündel von .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Spivak, Michael: Spaces satisfying Poincaré duality. Topology 6 1967 77–101.