Tangentialbündel

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Hier wird das Tangentialbündel des Kreises illustriert. Das erste Bild zeigt die Tangentialräume am Kreis und im zweiten Bild werden diese Räume zu einem Bündel zusammengefasst.

Tangentialbündel ist ein Begriff aus der Differentialgeometrie und Differentialtopologie. Es handelt sich um die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume. Hat das Tangentialbündel eine besonders einfache Struktur, dann nennt man die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit parallelisierbar.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Tangentialbündel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist ein Vektorbündel. Als Menge ist es als die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume von definiert:

Die Vektorraumstruktur in den Fasern ist die von den Tangentialräumen geerbte Struktur.

Ist M eine -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und U eine offene, zusammenziehbare Umgebung von , dann ist TU diffeomorph zu das heißt lokal ist das Tangentialbündel TM diffeomorph zu .

Ein Tangentialbündel erhält durch die zugrunde liegende Mannigfaltigkeit wieder eine differenzierbare Struktur. Man nennt einen Atlas des Tangentialbündels, in dem alle Karten die Form haben, eine lokale Trivialisierung. Die Topologie und differenzierbare Struktur bekommt das Tangentialbündel durch eine lokale Trivialisierung.

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit trivialem Tangentialbündel (das heißt ist als Bündel isomorph zu ) nennt man parallelisierbar.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Parallelisierbare Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • , das Tangentialbündel ist
  • Sei die 1-Sphäre. Das Tangentialbündel ist der unendlich lange Zylinder, das heißt
  • Jede endlichdimensionale Lie-Gruppe , denn man kann eine Basis für den Tangentialraum am neutralen Element wählen und dann durch die Gruppenwirkung über ganz transportieren, um eine Trivialisierung von zu erhalten.
  • Jede orientierbare geschlossene -Mannigfaltigkeit.

Nichttriviale Tangentialbündel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • mit , denn nach dem Satz vom Igel gibt es auf der -Sphäre kein nirgendwo verschwindendes, stetiges tangentiales Vektorfeld.
  • Raoul Bott und John Milnor bewiesen 1958 als Konsequenz aus dem Bott-Periodizitätssatz, dass und die einzigen parallelisierbaren Sphären sind.[1]

Natürliche Projektion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die natürliche Projektion ist eine glatte Abbildung

definiert durch

Dabei ist und . Es gilt also für alle .

Kotangentialbündel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analog zum Tangentialbündel ist auch das Kotangentialbündel definiert. Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ihr Tangentialraum am Punkt , so wird mit der Dualraum des Tangentialraums, den man Kotangentialraum nennt, bezeichnet. Das Kotangentialbündel von ist nun als disjunkte Vereinigung der Kotangentialräume definiert. Das heißt, es gilt

Auch auf dem Kotangentialbündel lässt sich auf natürliche Weise wieder eine differenzierbare Struktur definieren.

Einheits-Tangentialbündel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Einheits-Tangentialbündel

Das Einheits-Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit mit riemannscher Metrik besteht aus allen Tangentialvektoren der Länge 1:

Das Einheits-Tangentialbündel ist ein Faserbündel, aber kein Vektorraumbündel. Da die Fasern

diffeomorph zu einer Sphäre sind, spricht man auch von einem Sphärenbündel.

Vektorfelder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Vektorfeld

Ein Vektorfeld auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist eine Abbildung , die jedem Punkt einen Tangentialvektor mit Fußpunkt zuordnet. In der Differentialtopologie und der Differentialgeometrie betrachtet man vor allem glatte Vektorfelder, also solche, die glatte Abbildungen von nach sind.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY 2003, ISBN 0-387-95448-1.
  • R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Bott-Milnor: On the parallelizability of the spheres. Bull. Amer. Math. Soc. 64 1958 87–89. (pdf)