Graßmann-Mannigfaltigkeit

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Graßmann-Mannigfaltigkeiten (auch Grassmann-Mannigfaltigkeiten) sind in der Mathematik ein grundlegender Begriff sowohl der Differentialgeometrie als auch der algebraischen Geometrie. Sie parametrisieren die Unterräume eines Vektorraumes. Benannt sind sie nach Hermann Graßmann.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Vektorraum über einem Körper . Dann bezeichnet

die Menge der r-dimensionalen Untervektorräume von . Falls n-dimensional ist, bezeichnet man auch mit

.

Wirkung der orthogonalen/unitären und linearen Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Fall wirkt die orthogonale Gruppe

auf durch

.

Die Wirkung ist transitiv, die Stabilisatoren sind konjugiert zu

.

Man erhält also eine Bijektion zwischen und dem homogenen Raum

.

Im Fall wirkt die unitäre Gruppe transitiv und liefert eine Bijektion der Graßmann-Mannigfaltigkeit mit

.

Analog erhält man für beliebige Körper eine Bijektion zwischen und

.

Topologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als reelle Graßmann-Mannigfaltigkeit (der r-dimensionalen Unterräume im ) bezeichnet man mit der durch die Identifikation mit

gegebenen Topologie.

Als komplexe Graßmann-Mannigfaltigkeit bezeichnet man entsprechend

.

Die kanonische Inklusion induziert eine Inklusion . Man definiert

als induktiven Limes der mit der Limes-Topologie.

Algebraische Varietät[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grassmann-Mannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten mittels Plücker-Einbettung.

Tautologisches Bündel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei der projektive Limes bezüglich der kanonischen Inklusionen und definiere

.

Dann ist die Projektion auf den ersten Faktor ein Vektorbündel

,

welches als tautologisches oder universelles r-dimensionales Vektorbündel bezeichnet wird.

Klassifizierende Abbildung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu jedem r-dimensionalen Vektorbündel gibt es eine stetige Abbildung

,

so dass das Pullback des tautologischen Bündels unter ist.

Im Fall des Tangentialbündels einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit hat man die folgende explizite Beschreibung der klassifizierenden Abbildung: Nach dem Einbettungssatz von Whitney kann man annehmen, dass eine Untermannigfaltigkeit eines ist. Die Tangentialebene in einem Punkt ist dann von der Form

für einen Untervektorraum . Die Zuordnung

definiert eine stetige Abbildung

und man kann zeigen, dass

ist.

Klassifizierender Raum für Prinzipalbündel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Graßmann-Mannigfaltigkeit ist der klassifizierende Raum für Prinzipalbündel mit Strukturgruppen . Und damit auch für Prinzipalbündel mit Strukturgruppe , denn weil die Inklusion eine Homotopieäquivalenz ist, lässt sich jedes -Bündel auf die Strukturgruppe reduzieren. Es gilt also:

.

Die kanonische Projektion von der Stiefel-Mannigfaltigkeit nach , welche Repere jeweils auf den von ihnen erzeugten Unterraum abbildet, ist das universelle -Bündel. (Das tautologische Bündel ergibt sich aus dem universellen -Bündel als assoziiertes Vektorbündel durch die kanonische Wirkung von auf dem Vektorraum .)

Der Kolimes der Folge von Inklusionen

wird als oder bezeichnet. Gebräuchlich sind auch die Bezeichnungen

.

Mittels Bott-Periodizität kann man die Homotopiegruppen dieses Raumes berechnen.

Schubert-Kalkül[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Cup-Produkt im Kohomologiering der Graßmann-Mannigfaltigkeiten kann mittels Schubert-Kalkül bestimmt werden.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]