Statistische Versuchsplanung

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Die statistische Versuchsplanung (englisch design of experiments, DoE) wird bei Entwicklung und Optimierung von Produkten oder Prozessen eingesetzt.

Da Versuche Ressourcen benötigen (Personal, Zeit, Geräte usw.), sieht sich der Versuchsverantwortliche in einem Zwiespalt zwischen einerseits der Genauigkeit und Zuverlässigkeit seiner erwarteten Ergebnisse und andererseits dem dazu notwendigen Aufwand. Der Begriff „Versuch“ schließt neben materiellen Versuchen die Rechnersimulationen mit ein. Mit der statistischen Versuchsplanung wird mit möglichst wenigen Versuchen (Einzelexperimenten) der Wirkzusammenhang zwischen Einflussfaktoren (= unabhängige Variablen) und Zielgrößen (= abhängige Variable) möglichst genau ermittelt.

Geschichte[Bearbeiten]

Der Grundstein der heutigen statistischen Versuchsplanung wurde in den 20er Jahren des 20. Jahrhunderts von Ronald Aylmer Fisher und seinem Team am heutigen Agrarforschungsinstitut Rothamsted Research des Vereinigten Königreichs gelegt. Fisher führte für Versuche grundlegende Vorgehensweisen wie Wiederholungen, zufällige Reihenfolgen, Bockbildung und Vermengungen ein. Um die Versuchsergebnisse auszuwerten entwickelte er die Varianzanalyse. Im Jahr 1935 wurde von ihm das erste Buch mit dem Titel „The design of experiments“ zu dem Thema Versuchsplanung veröffentlicht, wodurch sich die Entwicklung beschleunigte. Die statistische Versuchsplanung wurde in der Zeit bis 1950 zunächst vorwiegend in der Landwirtschaft angewendet.[1]

Im Jahr 1951 wurden die bisherigen einfachen Versuchsplanungen von George E. P. Box und K. B. Wilson durch Lösungsansätze für Optimierungsaufgaben ergänzt. Es gab allerdings schon vorher Bestrebungen Versuche optimal zu planen, so führte Kristine Smith in ihrer Dissertation im Jahr 1918 das Kriterium der G-Optimalität ein.[2] Durch die Einführung von Optimierungsansätzen konnte sich das Anwendungsgebiet auf die Verfahrensoptimierung in der chemischen Industrie erweitern. Bis zu diesem Zeitpunkt war die Entwicklung der statistischen Versuchsplanung an den praktischen Anforderungen und Problemstellungen orientiert. J. Kiefer stellt 1959 als erster eine umfassende theoretische Darstellung für die Konstruktion und den Vergleich von Versuchsplänen vor.[1]

Zielsetzung und Nutzen[Bearbeiten]

Abbildung 1: Ursache Wirkung Beziehung

Die intuitiven Vorgehensweisen bei Versuchen, wie das Ändern eines Faktors nach dem anderen (one factor at a time) oder nach dem Prinzip Versuch und Irrtum (trial and error), bringen nur durch Zufall ein optimales Versuchsergebnis hervor. Die Einzelwirkungen und Wechselwirkungen von Einflussfaktoren werden dabei nicht erkannt.

Im Gegensatz dazu ist die statistische Versuchsplanung eine Methodik zur systematischen Planung und statistischen Auswertung von Versuchen. Es wird mit geringem Aufwand der funktionale Zusammenhang von Einflussparametern und den Ergebnissen ermittelt und mathematisch beschrieben. Die hierzu benötigten Ressourcen wie zum Beispiel Personal, Zeit und Kosten sind vor der Durchführung der Versuche bekannt und quantifizierbar.

Versuchspläne[Bearbeiten]

Tabelle 1: Versuchsplan für bis zu vier Einflussgrößen
24-Versuchsplan
23-Versuchsplan
22-Versuchsplan
Versuchs-Nr. x1 x2 x3 x4
1 - - - -
2 + - - -
3 - + - -
4 + + - -
5 - - + -
6 + - + -
7 - + + -
8 + + + -
9 - - - +
10 + - - +
11 - + - +
12 + + - +
13 - - + +
14 + - + +
15 - + + +
16 + + + +

Im Gegensatz zur „althergebrachten“ Vorgehensweise, bei der in einer Versuchsreihe nur ein Faktor variiert wird, werden bei der statistischen Versuchsplanung mehrere Faktoren gleichzeitig verändert. Es werden sogenannte Versuchspläne erstellt, die Folgendes berücksichtigen:

  • Anzahl der zu untersuchenden Faktoren (mind. 2)
  • Art der zu untersuchenden Faktoren (nominal (= qualitativ) oder quantitativ)
  • Bestehende Informationen
  • Gewünschte Genauigkeit/Zuverlässigkeit der Aussagen

Klassische Pläne in der Versuchsplanung sind vollständige Versuchspläne, Teilfaktorpläne (sogenannte Screening-Pläne) und Response-Surface-Pläne. Mit Screening-Plänen kann mit relativ wenigen Versuchen der Einfluss vieler Faktoren gleichzeitig untersucht werden, um zu erkennen, welche der Faktoren signifikant sind, das heißt die Ausgangsvariablen verändern. Mit Response-Surface-Plänen kann der Zusammenhang zwischen den wenigen wichtigen Faktoren und den Zielgrößen im Detail untersucht werden, um optimale Einstellungen der Faktoren zu ermitteln.

Auswertung[Bearbeiten]

Bei nominalen (kategorischen, qualitativen) Faktoren erfolgt die Auswertung mit Hilfe der Varianzanalyse. Bei quantitativen (metrischen) Faktoren erfolgt die Auswertung mit Hilfe der Regressionsanalyse. Am häufigsten werden Regressionsmodelle verwendet, die auf einer Linearkombination von Basisfunktionen beruhen:

  • Lineares Modell
y   = a_0    Mittelwert
+ \sum_{i=1}^{k} a_i x_i Haupteffekte
+ \sum_{i=1}^{k-1} \sum_{j=i+1}^{k} a_{ij} x_i x_j zweifach Wechselwirkungen
+ \dots mehrfach Wechselwirkungen
  • Quadratisches Modell
y   = a_0    Mittelwert
+ \sum_{i=1}^{k} a_i x_i lineare Effekte
+ \sum_{i=1}^{k} a_{ii} x^2_i quadratische Effekte
+ \sum_{i=1}^{k-1} \sum_{j=i+1}^{k} a_{ij} x_i x_j zweifach Wechselwirkungen

Diese Modelle können als Taylor-Entwicklungen bis zum Grad n=1 beziehungsweise n=2 aufgefasst werden. Die Modellparameter a_i werden so bestimmt, dass die Abweichungen zwischen Daten und Modell möglichst klein sind (meist wird die Summe der quadrierten Abweichungen minimiert).

Ist die tatsächliche Form des funktionalen Zusammenhangs zwischen Faktoren und Zielgrößen bekannt, so können die Parameter in der Funktion mit nichtlinearer Regression angepasst werden.

Software zur statistischen Versuchsplanung[Bearbeiten]

Viele der großen kommerziellen Statistikpakete besitzen ein Modul zur statistischen Versuchsplanung. Für das nicht-kommerzielle Statistikpaket R sind eine Reihe von Zusatzpaketen für die Versuchsplanung verfügbar[3]. Es gibt spezielle Software, die dem statistisch weniger versierten Benutzer die Durchführung der Planung und der Auswertung erleichtert, dies geschieht jedoch auf Kosten der Flexibilität. Geeignete Programme sind beispielsweise Design-Expert, GlobalOptimize, Modde und STAVEX; breitere Tools mit speziellen DoE-Modulen sind Cornerstone, JMP, Minitab, STATISTICA oder Visual-XSel.

Daneben enthalten verschiedenartige Simulationspakete oft speziell zugeschnittene Programme oder Module zur statistischen Versuchsplanung.

Beispiele[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Englische Standardwerke[Bearbeiten]

  •  George E. P. Box, J. Stuart Hunter, William G. Hunter: Statistics for Experimenters. Design, Innovation, and Discovery. 2. Auflage. John Wiley & Sons, Hoboken NJ 2005, ISBN 0-471-71813-0 (Wiley Series in Probability and Statistics).
  •  Gertrude M. Cox, William G. Cochran: Experimental Designs. 2. Auflage. Wiley, New York NY 1992, ISBN 0-471-16203-5 (Wiley Publications in Statistics).
  •  Angela Dean, Daniel Voss: Design and Analysis of Experiments. Springer New York, 1999, ISBN 978-0-387-98561-9 (Springer Texts in Statistics).
  •  Douglas C. Montgomery: Design and Analysis of Experiments. International Student Version. 7. Auflage. John Wiley & Sons, Hoboken NJ 2009, ISBN 978-0-470-39882-1.
  •  Raymond H. Myers, Douglas C. Montgomery, Christine M. Anderson-Cook: Response Surface Methodology. Process and Product Optimization Using Designed Experiments. 3. Auflage. John Wiley & Sons, Hoboken NJ 2009, ISBN 978-0-470-17446-3 (Wiley Series in Probability and Statistics).

Deutsche Werke[Bearbeiten]

  •  Hans Bandemer, Andreas Bellmann: Statistische Versuchsplanung. 4. neubearbeitete Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1994, ISBN 3-8154-2079-2 (Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler).
  •  H. Bandemer (Hrsg.): Theorie und Anwendung der optimalen Versuchsplanung. Band 1, Akademie-Verlag, Berlin 1977 (Mathematische Lehrbücher und Monographien. 2. Abteilung: Mathematische Monographien 47).
  •  Hans Bandemer, Wolfgang Näther: Theorie und Anwendung der optimalen Versuchsplanung. Band 2, Akademie-Verlag, Berlin 1980 (Mathematische Lehrbücher und Monographien. 2. Abteilung: Mathematische Monographien 48).
  •  Klaus Hartmann (Hrsg.): Statistische Versuchsplanung und -auswertung in der Stoffwirtschaft. VEB Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1974.
  •  Gerd F. Kamiske (Hrsg.): Qualitätstechniken für Ingenieure. 2. überarbeitete Auflage. Symposion Publishing, Düsseldorf 2009, ISBN 978-3-939707-62-2.
  •  Bernd Klein: Versuchsplanung – DoE. Einführung in die Taguchi/Shainin-Methodik. 2. korrigierte und erweiterte Auflage. Oldenbourg, München 2007, ISBN 978-3-486-58352-6.
  •  Wilhelm Kleppmann: Versuchsplanung. Produkte und Prozesse optimieren. 8. überarbeitete Auflage. Carl Hanser Verlag, München 2013, ISBN 978-3-446-43752-4 (Praxisreihe Qualitätswissen).
  •  Volker Nollau: Statistische Analysen. Mathematische Methoden der Planung und Auswertung von Versuchen. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 1979, ISBN 3-7643-1019-7 (Lehr- und Handbücher der Ingenieurwissenschaften 37).
  •  Harro Petersen: Grundlagen der Statistik und der statistischen Versuchsplanung – Teil 1: Grundlagen der deskriptiven und mathematischen Statistik. Band 1, Landsberg/Lech 1991, ISBN 3-609-65330-2.
  •  Harro Petersen: Grundlagen der Statistik und der statistischen Versuchsplanung – Teil 2: Grundlagen der statistischen Versuchsplanung. Band 2, Landsberg/Lech 1991, ISBN 3-609-65340-X.
  •  Dieter Rasch, G. Herrendörfer, J. Bock, K. Busch: Verfahrensbibliothek. Versuchsplanung und Auswertung. Band 1–3, Deutscher Landwirtschaftsverlag, Berlin 1978–1981.
  •  Dieter Rasch, Volker Guiard, Gerd Nürnberg: Statistische Versuchsplanung. Einführung in die Methoden und Anwendung des Dialogsystems CADEMO. G. Fischer Verlag, Stuttgart 1992, ISBN 3-437-40247-1.
  •  Eberhard Scheffler: Einführung in die Praxis der statistischen Versuchsplanung. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1974, ISBN 3-3420009-9-6.
  •  Eberhard Scheffler: Statistische Versuchsplanung und -auswertung. 3. Auflage. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Stuttgart 1997, ISBN 3-342-00366-9.
  •  Holger Wilker: Systemoptimierung in der Praxis – Teil 1: Leitfaden zur statistischen Versuchsauswertung. Band 1, Books on Demand GmbH, Norderstedt 2006, ISBN 3-8334-4551-3.
  •  Holger Wilker: Systemoptimierung in der Praxis – Teil 2: Leitfaden zur statistischen Versuchsauswertung. Band 1, Books on Demand GmbH, Norderstedt 2006, ISBN 3-8334-6306-6.
  •  Christoph Egert: Lineare statistische Modellierung und Interpretation in der Praxis. Oldenbourgverlag, München 2013, ISBN 978-3-486-71825-6.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b  Eberhard Scheffler: Einführung in die Praxis der statistischen Versuchsplanung. 2. Auflage. VEB Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1986, ISBN 3-342-00099-6, S. 11.
  2.  Hans Bademer, Andreas Bellmann, Wolfahrt Jung, Klaus Richter: Optimale Versuchsplanung (= Mathematik und Physik. Band 131). Akademie-Verlag GmbH, Berlin 1973, S. 3.
  3. Ulrike Groemping: CRAN Task View: Design of Experiments (DoE) & Analysis of Experimental Data. Abgerufen am 9. Juni 2015.