Statistische Versuchsplanung

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Die statistische Versuchsplanung (englisch design of experiments, DoE) umfasst alle statistischen Verfahren, die vor Versuchsbeginn angewendet werden sollten. Dazu gehören:

  • die Bestimmung des minimal erforderlichen Versuchsumfanges zur Einhaltung von Genauigkeitsvorgaben
  • die optimale Allokation (vor allem in der Regressionsanalyse Modell I), für die sich der kleinste Umfang ergibt (D-, A-, G- optimale Versuchspläne)
  • Konstruktion von Versuchsanlagen zur Ausschaltung von Störgrößen (Blockanlagen, lateinische Quadrate u. a.)
  • faktorielle Pläne, vor allem fraktionierte faktorielle Pläne
  • sequentielle Versuchsplanung und Auswertung (Sequentialanalyse); hier wechseln Datenerfassung und -auswertung ab, bis eine vorgegebene Genauigkeit erreicht wird

Da Versuche Ressourcen benötigen (Personal, Zeit, Geräte usw.), sieht sich der Versuchsverantwortliche in einem Zwiespalt zwischen einerseits der Genauigkeit und Zuverlässigkeit seiner erwarteten Ergebnisse und andererseits dem dazu notwendigen Aufwand. Der Begriff „Versuch“ schließt neben materiellen Versuchen die Rechnersimulationen mit ein. Mit der statistischen Versuchsplanung wird mit möglichst wenigen Versuchen (Einzelexperimenten) der Wirkzusammenhang zwischen Einflussfaktoren (= unabhängige Variablen) und Zielgrößen (= abhängige Variable) möglichst genau ermittelt. Wichtiger Bestandteil der statistischen Versuchsplanung ist die Bestimmung des Versuchsumfanges in Abhängigkeit von Genauigkeitsvorgaben wie etwa der Risiken von statistischen Tests und der minimal interessierenden Mindestdifferenz vom Nullhypothesenwert.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Grundstein der heutigen statistischen Versuchsplanung wurde in den 1920er Jahren von Ronald Aylmer Fisher und seinem Team am heutigen Agrarforschungsinstitut Rothamsted Research des Vereinigten Königreichs gelegt. Fisher führte für Versuche grundlegende Vorgehensweisen wie Wiederholungen, zufällige Reihenfolgen, Blockbildung und Vermengungen ein. Um die Versuchsergebnisse auszuwerten, entwickelte er die Varianzanalyse. Im Jahr 1935 wurde von ihm das erste Buch mit dem Titel The design of experiments zum Thema Versuchsplanung veröffentlicht, wodurch sich die Entwicklung beschleunigte. Die statistische Versuchsplanung wurde in der Zeit bis 1950 zunächst vorwiegend in der Landwirtschaft angewendet.[1]

Im Jahr 1951 wurden die bisherigen einfachen Versuchsplanungen von George E. P. Box und K. B. Wilson durch Lösungsansätze für Optimierungsaufgaben ergänzt. Es gab allerdings schon vorher Bestrebungen Versuche optimal zu planen, so führte Kristine Smith in ihrer Dissertation im Jahr 1918 das Kriterium der G-Optimalität ein.[2] Durch die Einführung von Optimierungsansätzen konnte sich das Anwendungsgebiet auf die Verfahrensoptimierung in der chemischen Industrie erweitern. Bis zu diesem Zeitpunkt war die Entwicklung der statistischen Versuchsplanung an den praktischen Anforderungen und Problemstellungen orientiert. J. Kiefer stellte 1959 als erster eine umfassende theoretische Darstellung für die Konstruktion und den Vergleich von Versuchsplänen vor.[1]

Zielsetzung und Nutzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ursache-Wirkung-Beziehung

Die intuitiven Vorgehensweisen bei Versuchen, wie das Ändern eines Faktors nach dem anderen (one factor at a time) oder nach dem Prinzip Versuch und Irrtum (trial and error), bringen nur durch Zufall ein optimales Versuchsergebnis hervor. Die Einzelwirkungen und Wechselwirkungen von Einflussfaktoren werden dabei nicht erkannt.

Im Gegensatz dazu ist die statistische Versuchsplanung eine Methodik zur systematischen Planung und statistischen Auswertung von Versuchen. Es wird mit geringem Aufwand der funktionale Zusammenhang von Einflussparametern und den Ergebnissen ermittelt und mathematisch beschrieben. Die hierzu benötigten Ressourcen wie zum Beispiel Personal, Zeit und Kosten sind vor der Durchführung der Versuche bekannt und quantifizierbar.

Versuchspläne[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tabelle 1: Versuchsplan für bis zu vier Einflussgrößen
24-Versuchsplan
23-Versuchsplan
22-Versuchsplan
Versuchs-Nr. x1 x2 x3 x4
1
2 +
3 +
4 + +
5 +
6 + +
7 + +
8 + + +
9 +
10 + +
11 + +
12 + + +
13 + +
14 + + +
15 + + +
16 + + + +
Geometrisches Modell für einen vollständig faktoriellen Versuchsplan mit drei Faktoren

Zu den Versuchsplänen gehören Anlagen zur Ausschaltung von Störgrößen wie Blockanlagen und Lateinische Quadrate, sequentielle Versuchspläne und faktorielle Anlagen.

Im Gegensatz zur „althergebrachten“ Vorgehensweise, bei der in einer Versuchsreihe nur ein Faktor variiert wird, werden in faktoriellen Anlagen mehrere Faktoren gleichzeitig verändert. Es werden sogenannte Versuchspläne erstellt, die Folgendes berücksichtigen:

  • Anzahl der zu untersuchenden Faktoren (mind. 2)
  • Art der zu untersuchenden Faktoren (nominal (= qualitativ) oder quantitativ)
  • Bestehende Informationen
  • Gewünschte Genauigkeit/Zuverlässigkeit der Aussagen

Klassische Pläne in der Versuchsplanung sind vollständige Versuchspläne, Teilfaktorpläne und Versuchspläne für Wirkungsflächen. Mit Screening-Plänen kann mit relativ wenigen Versuchen der Einfluss vieler Faktoren gleichzeitig untersucht werden, um zu erkennen, welche der Faktoren signifikant sind, das heißt die Ausgangsvariablen verändern. Mit Wirkungsflächenplänen kann der Zusammenhang zwischen den wenigen wichtigen Faktoren und den Zielgrößen im Detail untersucht werden, um optimale Einstellungen der Faktoren zu ermitteln.

Bestimmung des Versuchsumfangs

Für jedes n > 1 liege eine Zufallsstichprobe vor, deren Komponenten nach N(μ, σ2) verteilt sind.

Es ist die Nullhypothese H0: μ = μ0, σ2 beliebig, gegen

a) HA : μ < μ0  σ2 beliebig oder

b) HA : μ > μ0  σ2 beliebig oder

c) HA : μ ≠ μ0  σ2 beliebig

zu testen.

Die Testgröße t ist unter H0  zentral t - verteilt, allgemein ist sie nichtzentral t - verteilt mit dem Nichtzentralitätsparameter λ .                    

Das (1– α)-Quantil der zentralen t-Verteilung (der Verteilung bei Gültigkeit der Nullhypothese) muss gleich dem β-Quantil der nichtzentralen t-Verteilung mit Nichtzentralitätsparameter λ sein, wobei λ von der Mindestdifferenz δ abhängt. Daraus kann man den benötigten Versuchsumfang berechnen. Im Fall c) ergibt sich für α=0,05; β=0,2;δ=σ mit Hilfe des R-Paketes OPDOE über den Befehl                    

>size.t.test(delta=1, sd=1, sig.level=0.05, power = 0.8, +type:“one.sample“, alternative = +two.sided“)                    

der Wert n=10.                    

Software zur statistischen Versuchsplanung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kommerzielle Statistikpakete behandeln die statistische Versuchsplanung eher stiefmütterlich. Für das nicht-kommerzielle Statistikpaket R dagegen sind eine Reihe von Zusatzpaketen (das umfangreichste ist OPDOE) für die Versuchsplanung verfügbar[3]. Es gibt spezielle Software, die dem statistisch weniger versierten Benutzer die Durchführung der Planung und der Auswertung erleichtert, dies geschieht jedoch auf Kosten der Flexibilität. Geeignete Programme sind beispielsweise Design-Expert, GlobalOptimize, Modde und STAVEX; breitere Tools mit speziellen DoE-Modulen sind Cornerstone, JMP, Minitab, STATISTICA oder Visual-XSel.

Daneben enthalten verschiedenartige Simulationspakete oft speziell zugeschnittene Programme oder Module zur statistischen Versuchsplanung.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Englischsprachige Standardwerke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • George E. P. Box, J. Stuart Hunter, William G. Hunter: Statistics for Experimenters. Design, Innovation, and Discovery. 2. Auflage. John Wiley & Sons, Hoboken NJ 2005, ISBN 0-471-71813-0 (Wiley Series in Probability and Statistics).
  • Gertrude M. Cox, William G. Cochran: Experimental Designs. 2. Auflage. Wiley, New York NY 1992, ISBN 0-471-16203-5 (Wiley Publications in Statistics).
  • Rasch, D.; Pilz, J., Gebhardt, A. and Verdooren, R.L. . Optimal Experimental Design with R,   Boca Raton, Chapman and Hall, 2011, ISBN 978-1-4398-1697-4 (Hardback)
  • Angela Dean, Daniel Voss: Design and Analysis of Experiments. Springer New York, 1999, ISBN 978-0-387-98561-9 (Springer Texts in Statistics).
  • Douglas C. Montgomery: Design and Analysis of Experiments. International Student Version. 7. Auflage. John Wiley & Sons, Hoboken NJ 2009, ISBN 978-0-470-39882-1.
  • Raymond H. Myers, Douglas C. Montgomery, Christine M. Anderson-Cook: Response Surface Methodology. Process and Product Optimization Using Designed Experiments. 3. Auflage. John Wiley & Sons, Hoboken NJ 2009, ISBN 978-0-470-17446-3 (Wiley Series in Probability and Statistics).

Deutschsprachige Werke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Hans Bandemer, Andreas Bellmann: Statistische Versuchsplanung. 4. neubearbeitete Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1994, ISBN 3-8154-2079-2 (Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler).
  • H. Bandemer (Hrsg.): Theorie und Anwendung der optimalen Versuchsplanung. Band 1. Akademie-Verlag, Berlin 1977 (Mathematische Lehrbücher und Monographien. 2. Abteilung: Mathematische Monographien 47).
  • Hans Bandemer, Wolfgang Näther: Theorie und Anwendung der optimalen Versuchsplanung. Band 2. Akademie-Verlag, Berlin 1980 (Mathematische Lehrbücher und Monographien. 2. Abteilung: Mathematische Monographien 48).
  • Klaus Hartmann (Hrsg.): Statistische Versuchsplanung und -auswertung in der Stoffwirtschaft. VEB Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1974.
  • Rasch, D., Herrendörfer, G., Bock, J., Victor, N., & Guiard, V. Verfahrensbibliothek Versuchsplanung und ‑ auswertung, 2. verbesserte Auflage in einem Band mit CD, R. Oldenbourg Verlag München Wien 2008, ISBN 978-3-486-58330-4
  • Bernd Klein: Versuchsplanung – DoE. Einführung in die Taguchi/Shainin-Methodik. 2. korrigierte und erweiterte Auflage. Oldenbourg, München 2007, ISBN 978-3-486-58352-6.
  • Wilhelm Kleppmann: Versuchsplanung. Produkte und Prozesse optimieren. 8. überarbeitete Auflage. Carl Hanser Verlag, München 2013, ISBN 978-3-446-43752-4 (Praxisreihe Qualitätswissen).
  • Volker Nollau: Statistische Analysen. Mathematische Methoden der Planung und Auswertung von Versuchen (= Lehr- und Handbücher der Ingenieurwissenschaften. Band 37). 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 1979, ISBN 3-7643-1019-7.
  • Harro Petersen: Grundlagen der Statistik und der statistischen Versuchsplanung – Teil 2: Grundlagen der statistischen Versuchsplanung. Band 2. Landsberg/Lech 1991, ISBN 3-609-65340-X.
  • Dieter Rasch, G. Herrendörfer, J. Bock, K. Busch: Verfahrensbibliothek. Versuchsplanung und Auswertung. Band 1–3 (1978–1981). Deutscher Landwirtschaftsverlag, Berlin.
  • Dieter Rasch, Volker Guiard, Gerd Nürnberg: Statistische Versuchsplanung. Einführung in die Methoden und Anwendung des Dialogsystems CADEMO. G. Fischer Verlag, Stuttgart 1992, ISBN 3-437-40247-1.
  • Dieter Rasch und Dieter Schott:Mathematische Statistik, Kap. 12 Versuchsanlagen. Wiley VCH, Weinheim 2016, ISBN 978-3-527-33884-9.
  • Holger Wilker: Systemoptimierung in der Praxis – Teil 2: Leitfaden zur statistischen Versuchsauswertung. Band 1. Books on Demand, Norderstedt 2006, ISBN 3-8334-6306-6.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Eberhard Scheffler: Einführung in die Praxis der statistischen Versuchsplanung. 2. Auflage. VEB Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1986, ISBN 3-342-00099-6, S. 11.
  2. Hans Bademer, Andreas Bellmann, Wolfahrt Jung, Klaus Richter: Optimale Versuchsplanung (= Mathematik und Physik. Band 131). Akademie-Verlag, Berlin 1973, S. 3.
  3. Ulrike Groemping: CRAN Task View: Design of Experiments (DoE) & Analysis of Experimental Data. Abgerufen am 9. Juni 2015.