Fallende und steigende Faktorielle

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Die fallende bzw. steigende Faktorielle bezeichnet in der Mathematik eine Funktion ähnlich der Exponentiation, bei der jedoch die Faktoren schrittweise fallen bzw. steigen, d. h. um Eins reduziert bzw. erhöht werden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für natürliche Zahlen und mit wird die -te fallende bzw. steigende Faktorielle als bzw. (in manchen älteren Lehrbüchern auch bzw. ) notiert und ist wie folgt definiert:

Kombinatorische Interpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die fallende Faktorielle lässt sich als die Anzahl der Möglichkeiten interpretieren, aus einem Beutel mit eindeutig markierten Kugeln Kugeln zu entnehmen, wobei die Reihenfolge berücksichtigt wird und keine Kugeln zurückgelegt werden dürfen: Für die erste Kugel gibt es Kandidaten, für die zweite … und schließlich für die letzte Kugel noch . Für die Gesamtauswahl gibt es daher Möglichkeiten.

Allgemein ist die Anzahl der -Permutationen einer -Menge oder alternativ die Anzahl injektiver Abbildungen einer -Menge in eine -Menge.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Definition erfolgt analog für eine komplexe Zahl und eine natürliche Zahl :

Man kann und dann als komplexe Polynome in auffassen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gelten folgende Rechenregeln:

 für

Beziehungen zu anderen bekannten Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mithilfe der fallenden Faktoriellen lassen sich die Binomialkoeffizienten allgemein definieren:

Es gelten außerdem folgende Gleichungen, wobei und die (vorzeichenlosen) Stirling-Zahlen erster und zweiter Art bezeichnen:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]