Steiner-Ellipse

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Die Steiner-Ellipse eines gleichschenkligen Dreiecks. Die drei Strecken innerhalb des Dreiecks sind die Seitenhalbierenden des Dreiecks. Die Seitenhalbierenden schneiden sich im Geometrischen Schwerpunkt des Dreiecks, der mit dem Mittelpunkt der Steiner-Ellipse übereinstimmt.

In der Geometrie ist die Steiner-Ellipse eines Dreiecks (zur Unterscheidung von der Steiner-Inellipse auch Steiner-Umellipse genannt) die eindeutig bestimmte Ellipse, die durch die Ecken des Dreiecks geht und deren Mittelpunkt der Schwerpunkt des Dreiecks ist.[1] Die nach Jakob Steiner benannte Ellipse ist ein Beispiel für einen umbeschriebenen Kegelschnitt. Zum Vergleich: Auch der Umkreis eines Dreiecks ist ein solcher Kegelschnitt, der durch die Ecken verläuft; aber der Umkreismittelpunkt fällt nicht mit dem Schwerpunkt zusammen – außer wenn das Dreieck gleichseitig ist.

Der Flächeninhalt der Steiner-Ellipse ist gleich dem -fachen Flächeninhalt des Dreiecks und folglich viermal so groß wie der Inhalt der Steiner-Inellipse. Die Steiner-Ellipse hat den kleinsten Flächeninhalt unter allen dem Dreieck umbeschriebenen Ellipsen.[1]

Trilineare und baryzentrische Gleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gleichung der Steiner-Umellipse in trilinearen Koordinaten ist[1]

,

wobei a, b, c die Seitenlängen bezeichnen.

Eine besonders einfache Gleichung erhält man, wenn man baryzentrische Koordinaten verwendet:

Achsen und Brennpunkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die große und die kleine Halbachse haben die Längen[1]

die lineare Exzentrizität ist

mit

Die Brennpunkte der Steiner-Ellipse sind die sogenannten Bickart-Punkte des Dreiecks.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b c d Weisstein, Eric W. "Steiner Circumellipse." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/SteinerCircumellipse.html