Fortsetzung (Mathematik)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Stetige Fortsetzung)
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Fortsetzung einer Abbildung ist ein Begriff aus der Mathematik, der insbesondere in der Analysis und der Topologie verwendet wird. Unter einer Fortsetzung einer Abbildung versteht man eine weitere Abbildung, die auf einer Teilmenge ihres Definitionsbereichs mit der gegebenen Abbildung übereinstimmt. Von besonderem Interesse ist es, ob es Fortsetzungen zu stetigen beziehungsweise analytischen Funktionen gibt, die ebenfalls stetig beziehungsweise analytisch sind.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und Mengen. Eine Abbildung heißt Fortsetzung der Abbildung genau dann, wenn eine Teilmenge von ist und für alle gilt.[1]

Stetige Fortsetzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und topologische Räume, ein Teilraum von und eine stetige Abbildung. Eine Abbildung heißt, analog zu obiger Definition, stetige Fortsetzung von , falls stetig ist und für alle gilt.[2]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Funktion , definiert durch , ist stetig auf ihrem Definitionsbereich und hat eine stetige Fortsetzung auf ganz , welche lautet
Hier wird die Funktion auf einen weiteren Punkt fortgesetzt und man spricht in diesem speziellen Fall auch von einer stetig behebbaren Definitionslücke.
  • Die Funktion , definiert durch , ist stetig auf ihrem Definitionsbereich und hat eine stetige Fortsetzung auf ganz . Denn gemäß der Regel von de l’Hospital gilt , und damit ist
eine stetige Fortsetzung von .
  • Die Funktion , definiert durch , ist stetig auf ihrem Definitionsbereich , besitzt jedoch anders als die vorgenannten Funktionen keine stetige Fortsetzung auf den gesamten Zahlenraum , da der Grenzwert nicht existiert.
  • Im mathematischen Bereich der Funktionalanalysis wird die Fourier-Transformation betrachtet. Dies ist eine Abbildung auf dem Schwartz-Raum. Da der Schwartz-Raum dicht im Raum der quadratintegrierbaren Funktionen liegt, kann die Fourier-Transformation stetig auf fortgesetzt werden. Jedoch hat sie auf diesem Raum nicht mehr die übliche Integraldarstellung, die sie auf dem Schwartz-Raum hat.

Fortsetzungssatz von Tietze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Fortsetzungssatz von Tietze

Der Fortsetzungssatz von Tietze charakterisiert topologische Räume, in denen stetige Funktionen auf abgeschlossenen Teilmengen immer stetig fortgesetzt werden können. Es sind genau die normalen topologischen Räume, in denen das immer möglich ist. Der Satz kann als Verallgemeinerung des Lemmas von Urysohn verstanden werden.

Einschränkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Einschränkung

Das zur Fortsetzung von Funktionen gegenteilige Konzept ist die Einschränkung des Definitionsbereichs einer Abbildung.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Fortsetzung einer Abbildung. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 1: A bis Eif. Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2000, ISBN 3-8274-0303-0.
  2. Dušan Repovš, Pavel Vladimirovič Semenov: Continuous selections of multivalued mappings. In: Mathematics and its Applications. Bd. 455. Kluwer Academic, Dordrecht u. a. 1998, ISBN 0-7923-5277-7, S. 23–24.