Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Die Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist eine matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilung, die von besonderem Interesse in der multivariaten Statistik ist. Dort hat man häufig mit Integralen über der orthogonalen Gruppe oder der Stiefel-Mannigfaltigkeit bezüglich eines invarianten Maßes zu tun. Zum Beispiel erscheint die Verteilung bei der Untersuchung der Funktionaldeterminante bei Transformationen mit orthogonalen respektive semiorthogonalen Matrizen. Die Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist das normalisierte Haar-Maß auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit.

Eine Zufallsmatrix, welche gleichverteilt über der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist, ist invariant unter der zweiseitigen Wirkung des Produktes der orthogonalen Gruppen $O(p)\times O(n)$, das heißt $X\sim V_{1}XV_{2}$ für $V_{1}\in O(p),V_{2}\in O(n)$.

Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Einführung

Sei $V_{p,n}:=V_{n}(\mathbb {R} ^{p})$ die Stiefel-Mannigfaltigkeit, das heißt der Raum aller orthonormalen $n$-Rahmen in $\mathbb {R} ^{p}$ für $n\leq p$. Wir können diese Mannigfaltigkeit auch als den Matrizenraum

$V_{p,n}=\{X\in \mathbb {R} ^{p\times n}\colon X'X=I_{n},\;n\leq p\}$

darstellen. Die Stiefel-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zum Quotientenraum der orthogonalen Gruppen

$V_{p,n}\cong O(p)/O(p-n),$

wir können beide miteinander identifizieren und im Fall $p=n$ erhalten wir gerade die orthogonale Gruppe. Die Stiefel-Mannigfaltigkeit übernimmt die linke Gruppenwirkung

$X\to VX,\quad V\in O(p).$

$O(p-n)$ ist eine kompakte abgeschlossene Lie-Untergruppe von $O(p)$. Nach dem Satz von Haar existiert ein Haar-Maß auf $O(p)$, welches wiederum ein invariantes Maß auf dem Quotientenraum $O(p)/O(p-n)$ induziert.

Herleitung des Haar-Maßes auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Sei $X\in O(p)$, dann differenzieren wir $X'X=I_{p}$ und erhalten

$dX'X+X'dX=0.$

Seien $x_{1},\dots ,x_{p}$ die Spalten von $X=(x_{1},\dots ,x_{p})$. Das äußere Produkt der superdiagonalen Elemente liefert eine Differentialform

$(X'dX):=\bigwedge \limits _{1\leq i<j\leq p}x'_{i}dx_{j}=\bigwedge \limits _{1\leq i<j\leq p}(x_{1i}dx_{1j}+\cdots +x_{pi}dx_{pj}),$

welche den Grad ${\tfrac {1}{2}}p(p-1)$ hat und somit maximal ist. Diese Differentialform ist invariant unter der linken und der rechten Gruppenwirkung der orthogonalen Gruppe. Integration der Differentialform liefert das entsprechende Haar-Maß der orthogonalen Gruppe.

Sei nun $X\in V_{p,n}$ ein Element der Stiefel-Mannigfaltigkeit und von der Form $X=(x_{1},\dots ,x_{n})$. Dann wählen wir eine Matrix $X^{\perp }=(x_{n+1},\dots ,x_{p})\in \mathbb {R} ^{p\times (p-n)}$, so dass $[X\colon X^{\perp }]=(x_{1},\dots ,x_{p})\in O(p)$. Die induzierte Differentialform des invarianten Maßes auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist vom maximalen Grad ${\tfrac {1}{2}}n(2p-n-1)$ und gegeben durch

$(X'dX):=\bigwedge \limits _{j=1}^{p-n}\bigwedge \limits _{1=i}^{n}x'_{n+j}dx_{i}\bigwedge \limits _{1\leq i<j\leq n}x'_{j}dx_{i}.$

Die Differentialform hängt nicht von einer spezifischen Form von $X^{\perp }$ ab und ist wieder invariant unter linker und rechter Gruppenwirkung.

Integration des Haar-Maßes

Man kann nun zeigen, dass für das Integral des invarianten Maßes über der Stiefel-Mannigfaltigkeit folgende Rekursion

$\int _{V_{p,n}}(X'dX)=A_{p}\int _{V_{p-1,n-1}}(X'dX)_{-1},\qquad A_{p}:={\frac {2\pi ^{p/2}}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}p)}}$

gilt. Die Notation $(X'dX)_{-1}$ steht hier einfach für das invariante Maß auf $V_{p-1,n-1}$.

Aus der Rekursion folgt

$v(p,n):=\int _{V_{p,n}}(X'dX)={\frac {2^{n}\pi ^{pn/2}}{\Gamma _{n}({\tfrac {1}{2}}p)}},$

wobei $\Gamma _{n}$ die multivariate Gammafunktion ist.

Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Die Gleichverteilung ist das eindeutige Haar-Wahrscheinlichkeitsmaß

$[dX]={\frac {1}{v(p,n)}}(X'dX),$

wobei

$(X'dX)=\bigwedge \limits _{j=1}^{p-n}\bigwedge \limits _{1=i}^{n}x'_{n+j}dx_{i}\bigwedge \limits _{1\leq i<j\leq n}x'_{j}dx_{i}$

ist und die Normalisierungskonstante

$v(p,n)={\frac {2^{n}\pi ^{pn/2}}{\Gamma _{n}({\tfrac {1}{2}}p)}}$.

Literatur

• Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, ISBN 1-58488-046-5. 
• Yasuko Chikuse: Statistics on Special Manifolds. Hrsg.: Springer (= Lecture Notes in Statistics. Band 174). New York 2003, doi:10.1007/978-0-387-21540-2. 
• Yasuko Chikuse: Distributions of orientations on Stiefel manifolds. In: Journal of Multivariate Analysis. Band 33, Nr. 2, 1990, S. 247–264, doi:10.1016/0047-259X(90)90049-N. 
• Alan Treleven James: Normal Multivariate Analysis and the Orthogonal Group. In: Ann. Math. Statist. Band 25, Nr. 1, 1954, S. 40 - 75, doi:10.1214/aoms/1177728846. 
• K.V. Mardia und C.G. Khatri: Uniform distribution on a Stiefel manifold. In: Journal of Multivariate Analysis. Band 7, Nr. 3, 1977, S. 468–473, doi:10.1016/0047-259X(77)90087-2. 

Einzelnachweise

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | Trapez | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart