Einheitswurzel

n-te Einheitswurzeln sind komplexe Zahlen deren n-te Potenz 1 ist.

Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau n Einheitswurzeln:

$z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}$

Für jede dieser $z_{k}$ gilt:

${z_{k}}^{n}=1$

Zum Beispiel ist für n=2:

$z_{1}=-1,z_{2}=1$

oder für n=4:

$z_{1}=i,\ z_{2}=-1,\ z_{3}=-i,\ z_{4}=1$, wobei i die imaginäre Einheit ist. Es gilt: $i^{2}=-1$, also $(i^{2})^{2}=1$.

Eine Einheitswurzel $z_{k}$ heißt primitiv, falls alle Einheitswurzeln Potenzen von $z_{k}$ sind.

Ermittlung der Einheitswurzeln

Die Einheitswurzeln einer gegebenen Potenz n lassen sich geometrisch ermitteln: Sie sind die Ecken eines n-Ecks, dessen Ecken auf dem Einheitskreis (mit Mittelpunkt 0 und Radius 1) der komplexen Ebene liegen, wobei eine Ecke die komplexe Zahl $z_{n}=1$ ist. Realteil x und Imaginärteil y der Einheitswurzel $z=x+iy$ lassen sich aus den Koordinaten der Unterteilungs-Punkte auf dem Kreis direkt ablesen. Exakt berechnen lassen sie sich aus dem Cosinus und dem Sinus der zugehörigen Winkel:

$x_{k}=\cos(k\cdot 2\pi /n)=\cos(k\cdot 360^{\circ }/n)$

$y_{k}=\sin(k\cdot 2\pi /n)=\sin(k\cdot 360^{\circ }/n)$

$k=1,\ldots ,n$

Verallgemeinerung

Hat man einen beliebigen Körper K anstelle der komplexen Zahlen, kann man die Nullstellen des Polynoms

$X^{n}-1$

als n-te Einheitswurzeln definieren. Man weiß dann, dass es in K höchstens n solche Wurzeln gibt. Falls es weniger als n sind, kann man zum Zerfällungskörper des Polynoms übergehen, in dem dann alle n Einheitswurzeln enthalten sind. Man nennt diesen Oberkörper den n-ten Kreisteilungskörper über K. Spricht man von Kreisteilungskörpern ohne den Grundkörper anzugeben, meint man meist die Kreisteilungskörper über den rationalen Zahlen. In dem sind die Einheitswurzeln genau die oben beschriebenen komplexen Zahlen.