Kreisteilungskörper

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Kreisteilungskörper (auch: Zyklotomische Körper) sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine natürliche Zahl. Dann ist der -te Kreisteilungskörper diejenige Körpererweiterung von , die durch Adjunktion der Menge aller -ten Einheitswurzeln entsteht.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist eine primitive -te Einheitswurzel, so ist das Minimalpolynom von das -te Kreisteilungspolynom , deshalb ist
Insbesondere ist der Körpergrad mit der eulerschen φ-Funktion.
  • Zwei Kreisteilungskörper und mit sind genau dann gleich, wenn ungerade ist und gilt.
  • Die Adjunktion der -ten Einheitswurzeln zu ergibt mit
  • Die Erweiterung ist galoissch. Die Galoisgruppe ist isomorph zu ist eine primitive -te Einheitswurzel, so entspricht einem Element der durch
definierte Automorphismus von [1]
  • Der Ganzheitsring von ist mit einer beliebigen primitiven -ten Einheitswurzel .[2]
  • Insbesondere ist der Ganzheitsring von gleich dem Ring der ganzen gaußschen Zahlen, der Ganzheitsring von ist gleich dem Ring der Eisenstein-Zahlen. Diese beiden Zahlkörper sind die einzigen algebraischen Erweiterungen der rationalen Zahlen, die sowohl Kreisteilungskörper als auch quadratische Erweiterungskörper sind.

Diskriminante und Verzweigung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Diskriminante von für ist[3]

Die in verzweigten Primzahlen sind gerade die Primteiler der Diskriminante. Insbesondere ist eine ungerade Primzahl genau dann verzweigt in , wenn sie ein Teiler von ist. Die ist genau dann verzweigt, wenn . Eine Primzahl ist genau dann voll zerlegt, wenn gilt.[4]

Ist eine Primzahlpotenz, so ist die einzige verzweigte Primzahl in . ist dann unzerlegt und vollständig verzweigt. Man kann zeigen, dass ein Element mit Norm ist. Das einzige Primideal über ist also das Hauptideal, das von erzeugt wird:

Für die Diskriminante ergibt sich .[5]

Satz von Kronecker-Weber[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Kronecker-Weber (nach L. Kronecker und H. Weber) besagt, dass jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Die maximale abelsche Erweiterung von entsteht also durch Adjunktion aller Einheitswurzeln.

Idealklassengruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Klassenzahl von besteht aus zwei ganzzahligen Faktoren und .[6] Hierbei ist die Klassenzahl des maximal reellen Teilkörpers und die relative Klassenzahl. Die Idealklassengruppe von kann als Untergruppe der Idealklassengruppe von aufgefasst werden.[7]

Die relative Klassenzahl kann mithilfe von Dirichlet-Charakteren und Bernoulli-Zahlen explizit bestimmt werden.[8]

Die Klassenzahl von zu bestimmen, ist im Allgemeinen schwierig. Aus dem Satz von Brauer-Siegel, der eine Aussage über das asymptotische Verhalten der Klassenzahl macht, lässt sich folgern, dass für . Insbesondere gibt es nur endlich viele Kreisteilungskörper mit Klassenzahl .[9] Die vollständige Liste aller mit lautet[10]

In genau diesen Fällen ist ein Hauptidealring und es gibt eine eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen.

Die ungelöste Vandiver-Vermutung sagt voraus, dass die Primzahl nicht teilt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Washington: Theorem 2.5
  2. Neukirch: Satz I.10.2
  3. Washington: Proposition 2.7
  4. Neukirch: Korollar I.10.4
  5. Neukirch: Lemma I.10.1
  6. Nach Washington, Theorem 4.10 ist ein Teiler von
  7. Washington: Theorem 4.14
  8. Washington: Theorem 4.17
  9. Washington: Theorem 4.20
  10. Washington: Theorem 11.1 (Die Liste wurde durch Doppelungen im Fall ergänzt)