Einheitswurzel

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Für die Bedeutung von Einheitswurzel in der Zeitreihenanalyse siehe Einheitswurzel (Zeitreihenanalyse).

In der Algebra werden Zahlen, deren -te Potenz die Zahl 1 ergibt, -te Einheitswurzeln genannt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein kommutativer Ring mit Einselement und eine natürliche Zahl. Ein Element heißt eine -te Einheitswurzel, wenn es eine der beiden gleichwertigen Bedingungen erfüllt:

  • ;
  • ist Nullstelle des Polynoms .

Die -ten Einheitswurzeln in bilden eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe , die oft mit bezeichnet wird.

Eine -te Einheitswurzel heißt primitiv, falls für gilt.

Einheitswurzeln in den komplexen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Körper der komplexen Zahlen sind

die -ten Einheitswurzeln. Setzt man

,

so ist primitiv, und diese Zahlen bekommen (in der gleichen Reihenfolge) die einfache Gestalt

.

Ist klar, um welches es sich handelt, lässt man den unteren Index häufig fallen.

Gruppe der Einheitswurzeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da und mit und auch Einheitswurzeln sind, ist die Menge aller Einheitswurzeln eine Gruppe. Die Abbildung:

ist surjektiv. Der Kern dieser Abbildung ist . Die Gruppe der komplexen Einheitswurzeln ist daher isomorph zu der Faktorgruppe .

Geometrischer Bezug[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die -ten Einheitswurzeln lassen sich in der komplexen Zahlenebene geometrisch anschaulich interpretieren: Sie sind die auf dem Einheitskreis (mit Mittelpunkt 0 und Radius 1) liegenden Ecken eines regelmäßigen -Ecks, wobei eine der Ecken die Zahl ist, denn diese ist für jedes eine -te Einheitswurzel.

Realteil und Imaginärteil der Einheitswurzeln sind damit die Koordinaten der Ecken des -Ecks auf dem Kreis, d. h. für ist

   und   .

Mehr siehe unter Radizieren komplexer Zahlen.

Summe der Einheitswurzeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine -te Einheitswurzel, so gilt

Diese Aussage folgt unmittelbar aus der geometrischen Summenformel und ist ein Spezialfall der analogen Aussage für Charaktere von Gruppen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die zweiten, dritten und vierten Einheitswurzeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion x3-1
Die dritten Einheitswurzeln

Die zweiten Einheitswurzeln sind

;

die dritten Einheitswurzeln sind

;

die vierten Einheitswurzeln sind wieder von einfacherer Form:

,

wobei i die imaginäre Einheit ist.

Die fünften Einheitswurzeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion x5-1
Die fünften Einheitswurzeln

Aus folgt

für . Lösen dieser quadratischen Gleichung liefert . Da der Winkel im 1. Quadranten liegt, ist positiv, und damit ist der Realteil von . Der Imaginärteil ist nach dem Satz des Pythagoras .

Eigenschaften der Einheitswurzeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einheitswurzeln in (kommutativen) Körpern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist die Charakteristik des Körpers , dann ist eine -fache Nullstelle des Polynoms . Ist nicht Teiler der Ordnung , dann gelten die folgenden Aussagen auch für Körper mit Primzahlcharakteristik . Für zusätzliche Eigenschaften der Einheitswurzeln in solchen Körpern siehe Endlicher Körper#Multiplikative Gruppe und diskreter Logarithmus.

  • Ist ein (kommutativer) Körper und , dann bilden die Elemente mit eine zyklische Untergruppe der multiplikativen Gruppe .
  • Die Gruppenordnung von ist stets ein Teiler von .
  • Ist sie gleich , so sagt man, „enthält die -ten Einheitswurzeln“ und nennt „die Gruppe der -ten Einheitswurzeln“.
  • Eine -te Einheitswurzel ist genau dann primitiv, wenn sie die Gruppe der -ten Einheitswurzeln erzeugt. Die Ordnung einer primitiven -ten Einheitswurzel ist . Die primitiven -ten Einheitswurzeln sind genau die Nullstellen des -ten Kreisteilungspolynoms.
  • Ist eine primitive -te Einheitswurzel, dann ist eine primitive -te Einheitswurzel (größter gemeinsamer Teiler).
  • Die Anzahl der primitiven -ten Einheitswurzeln ist (Eulersche Phi-Funktion).

Beweis der letzten Aussage: ist eine abelsche Torsionsgruppe. Sie ist also zu einem direkten Produkt

  mit  

isomorph ( := Menge der positiven Primzahlen). Und die sind zyklisch, weil die Gruppenelemente der Ordnung allesamt Nullstellen von sind und damit Potenzen voneinander. Schließlich ist wegen der Teilerfremdheit von Potenzen verschiedener Primzahlen das direkte Produkt zyklisch.

Beispiel für Einheitswurzeln in nicht-kommutativen (Schief)körpern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im nicht-kommutativen Schiefkörper der Quaternionen hat das Polynom die unendlich vielen Nullstellen

mit

.

Die Quaternionengruppe ist eine endliche nicht-kommutative Untergruppe der multiplikativen Gruppe . Sie hat die Ordnung 8 und den Exponenten 4. Für weitere endliche Untergruppen von siehe Quaternion#Die endlichen Untergruppen.

Einheitswurzeln in Restklassenringen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Im Ring der ganzen Zahlen modulo ist die Zahl eine primitive -te Einheitswurzel, denn in diesem Ring gilt .
  • Im Ring der ganzen Zahlen modulo ist die Zahl eine primitive -te Einheitswurzel.

Diese beiden speziellen Restklassenringe sind für die Computeralgebra höchst bedeutsam, denn sie ermöglichen eine nochmals drastisch beschleunigte Variante der schnellen diskreten Fouriertransformation. Dies liegt darin begründet, dass Addition und Multiplikation dieser Restklassenringe durch entsprechende zyklische Addition und Multiplikation in einem unwesentlich größeren Restklassenring ersetzt werden können, und damit in binärer Zahlendarstellung die Multiplikation mit Potenzen der Zahl eine zyklische binäre Shift-Operation bedeutet, was wesentlich schneller durchführbar ist als eine allgemeine Multiplikation zweier Zahlen. Die erhebliche Zeitersparnis für die diskrete Fourier-Transformation ergibt sich aus der Tatsache, dass während der schnellen Fouriertransformation viele Multiplikationen mit der gewählten Einheitswurzel durchzuführen sind.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]