Topologische K-Theorie

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In der Mathematik, speziell in der algebraischen Topologie, beschäftigt sich die Topologische K-Theorie mit dem Studium von Vektorbündeln auf topologischen Räumen. Der Name K-Theorie wurde von Alexander Grothendieck kreiert; das K steht für „Klasse“ in einem sehr allgemeinen Sinn.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein fester kompakter Hausdorffraum.

Dann ist der Quotient der freien abelschen Gruppe auf den Isomorphieklassen der stabil äquivalenten komplexen Vektorbündeln über nach der Untergruppe, die von Elementen der Form

für beliebige komplexe Vektorbündel über erzeugt wird. Dabei bezeichnet die Whitney-Summe der Vektorbündel. Diese Konstruktion, die der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen nachempfunden ist, heißt Grothendieck-Gruppe (nach Alexander Grothendieck). Man kann sich Elemente von also als formale Summen und Differenzen von (Isomorphieklassen von) komplexen Vektorbündeln denken.

Betrachtet man stattdessen reelle Vektorbündel, erhält man die reelle -Theorie . Zur besseren Abgrenzung nennt man die K-Theorie der komplexen Vektorbündel auch komplexe K-Theorie.

Zwei Vektorbündel und auf definieren genau dann dasselbe Element in , wenn sie stabil äquivalent sind, d.h. wenn es ein triviales Vektorbündel gibt, so dass

Mit dem Tensorprodukt von Vektorbündeln wird zu einem kommutativen Ring mit Einselement.

Der Begriff des Ranges eines Vektorbündels überträgt sich auf Elemente der -Theorie. Die reduzierte K-Theorie ist die Untergruppe der Elemente von Rang 0. Weiter führt man die Bezeichnung ein; dabei bezeichnet die reduzierte Einhängung.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist ein kontravarianter Funktor auf der Kategorie der kompakten Hausdorffräume.
  • Es gibt einen topologischen Raum , so dass Elemente von den Homotopieklassen von Abbildungen entsprechen.
  • Es gibt einen natürlichen Ringhomomorphismus , den Chern-Charakter.

Bott-Periodizität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieses nach Raoul Bott benannte Periodizitätsphänomen lässt sich auf die folgenden äquivalenten Arten formulieren:

  • und dabei ist die Klasse des tautologischen Bündels über .
  • .

In der reellen K-Theorie gibt es eine ähnliche Periodizität mit Periode 8.

Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die (komplexe oder reelle) topologische K-Theorie ist eine verallgemeinerte Kohomologietheorie und kann oft mit Hilfe der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz berechnet werden.[1]

K-Theorie für Banachalgebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die topologische K-Theorie lässt sich auf allgemeine Banachalgebren ausdehnen, wobei die C*-Algebren eine wichtige Rolle spielen. Die topologische K-Theorie kompakter Räume kann als K-Theorie der Banachalgebren der stetigen Funktionen umformuliert und dann auf beliebige Banachalgebren übertragen werden, sogar auf das Einselement der Algebren kann man verzichten. Da die Zuordnung ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie der Banachalgebren ist und da die topologische K-Theorie ebenfalls kontravariant ist, erhalten wir insgesamt einen kovarianten Funktor von der Kategorie der Banachalgebren in die Kategorie der abelschen Gruppen.[2]

Da hier auch nicht-kommutative Algebren auftreten können, spricht man von nicht-kommutativer Topologie. Die K-Theorie ist ein wichtiger Untersuchungsgegenstand in der Theorie der C*-Algebren.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Algebraische K-Theorie

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Michael Atiyah: K -theory. Notes by D. W. Anderson. Second edition. Advanced Book Classics. Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989. ISBN 0-201-09394-4
  • Allen Hatcher: Vector bundles and K-theory (math.cornell.edu).
  • Karlheinz Knapp: Vektorbündel. (link.springer.com).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Atiyah, Hirzebruch: Vector bundles and homogeneous spaces. In: Proc. Sympos. Pure Math. Band III. American Mathematical Society, Providence, R.I. 1961, S. 7–38.
  2. Blackadar: K-Theory for Operator Algebras. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-96391-X.