Total separierter Raum

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Total separierte Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie untersucht. In einem unzusammenhängenden topologischen Raum gibt es mindestens eine nicht-leere und vom Gesamtraum verschiedene offen-abgeschlossene Menge, in total separierten Räumen gibt es sehr viele davon.

U ist offen-abgeschlossen, enthält x aber nicht y.

Ein topologischer Raum heißt total separiert, falls es zu je zwei verschiedenen Punkten aus eine offen-abgeschlossene Menge gibt mit und .

Beachte, dass die Definition symmetrisch bzgl. und ist, denn mit ist ja auch offen-abgeschlossen.

Diskret    extremal unzusammenhängend    total separiert    total unzusammenhängend.
  • Der punktierte Knaster-Kuratowski-Fan ist total unzusammenhängend aber nicht total separiert.
  • Nulldimensionale T0-Räume sind total separiert.[1] Nulldimensionale Räume passen nicht in obige Reihe, da es extremal unzusammenhängende Hausdorffräume gibt, die nicht nulldimensional sind.[2] Dies zeigt gleichzeitig, dass aus der totalen Separiertheit auch im Falle von Hausdorffräumen nicht deren Nulldimensionalität folgt, wie auch das folgende Beispiel zeigt:
  • Auf der Menge der irrationalen Zahlen sei eine Menge offen genau dann, wenn es für alle ein gibt, so dass aus und folgt, dass gilt. Das definiert eine Topologie auf , die total separiert aber nicht nulldimensional ist.[3]
  • Unterräume total separierter Räume sind wieder total separiert.
  • Produkte total separierter Räume sind wieder total separiert.
  • Jeder total separierte Raum ist hausdorffsch, denn die definierende Eigenschaft liefert für je zwei Punkte trennende offene Umgebungen.[4]
  • Ein lokalkompakter Hausdorffraum ist genau dann total separiert, wenn er total unzusammenhängend ist.[5]

Einzelnachweise

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  1. René Bartsch: Allgemeine Topologie, Walter De Gruyter (2015), ISBN 978-3-11-040617-7, Satz 6.4.4
  2. Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, ISBN 3-540-90312-7, Beispiel 113
  3. Peter T. Johnstone: Stone Spaces, Cambridge University Press 1982, ISBN 0-521-33779-8, II.4.2 Exercise (ii)
  4. Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer-Verlag 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Satz 2.6.3
  5. René Bartsch: Allgemeine Topologie, Walter De Gruyter (2015), ISBN 978-3-11-040617-7, Korollar 6.4.8