Transkritische Bifurkation

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Illustration der transkritischen Bifurkation. Die stabile (rot) Ruhelage wird instabil (blau) und umgekehrt.
Bifurkationsdiagramm einer Transkritischen Bifurkation. Stabile Fixpunkte sind rot, instabile blau dargestellt.

Die transkritische Bifurkation beschreibt einen Vorgang, bei dem die Stabilität („anziehend“ oder „abstoßend“) zweier Ruhelagen eines Systems vertauscht wird.

Sie ist damit ein bestimmter Typ einer Bifurkation eines nichtlinearen Systems.

Die Normalform der transkritischen Bifurkation ist:

   (I)

wobei der Bifurkationsparameter ist.

Die transkritische Bifurkation hat folgende Gleichgewichtspunkte:

Setzt man mit in die Normalform ein (d. h. man stört den Fixpunkt) und vernachlässigt den -Term, erhält man

für die zeitliche Entwicklung der Störung .

Für ist also ein stabiler Fixpunkt (d. h. die Störung nimmt mit der Zeit ab) und ein instabiler (die Störung wächst). Für ist es umgekehrt.

Bei dem kritischen Wert des Bifurkationsparameters ist der (in diesem Fall einzige) Fixpunkt indifferent stabil.

Diskretes System[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ein diskretes System wird aus (I):

Die Lage der Fixpunkte bleibt gegenüber dem kontinuierlichen System unverändert.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]