Logistische Funktion

Die logistische Funktion charakterisiert eine stetige eindimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung und ist eine funktionelle Darstellung von Sättigungsprozessen aus der Klasse der sogenannten Sigmoidfunktionen mit unbegrenzter zeitlicher Ausdehnung.

Noch bis ins 20. Jahrhundert wurde gelegentlich auch der Logarithmus mit dem italienischen Namen der logistischen Kurve (curva logistica) belegt. Heute ist der Name eindeutig der S-Funktion zugeordnet.

Beschreibung

Logistische Funktion für den Fall $G=1\,;\,k=1\,;\,f(0)=0{,}5$

Die logistische Funktion, wie sie sich aus der diskreten logistischen Gleichung ergibt, beschreibt den Zusammenhang zwischen der verstreichenden Zeit und einem Wachstum, beispielsweise einer idealen Bakterien­population. Hierzu wird das Modell des exponentiellen Wachstums modifiziert durch eine sich mit dem Wachstum verbrauchende Ressource – die Idee dahinter ist also etwa ein Bakteriennährboden begrenzter Größe. Zur Anfangszeit ist der Funktionswert nicht 0, sondern es gilt $f(0)>0$.

Für das Bakterienbeispiel gilt also:

• Der begrenzte Lebensraum bildet eine obere Schranke $G$ für die Bakterienanzahl $f(t)$.
• Das Bakterienwachstum $f'(t)$ ist proportional zu:
  • dem aktuellen Bestand $f(t)$
  • der noch vorhandenen Kapazität $G-f(t)$

Diese Entwicklung wird daher durch eine Bernoullische Differentialgleichung der Form

$f'(t)=k\cdot f(t)\cdot \left(G-f(t)\right)$

mit einer Proportionalitätskonstanten $k$ beschrieben. Das Lösen dieser Differentialgleichung ergibt:

$f(t)=G\cdot {\frac {1}{1+e^{-k\cdot G\cdot t}\left({\frac {G}{f(0)}}-1\right)}}$

Der Graph der Funktion beschreibt eine S-förmige Kurve, eine Sigmoide. Am Anfang ist das Wachstum klein, da die Population und somit die Zahl der sich vermehrenden Individuen gering ist. In der Mitte der Entwicklung (genauer: im Wendepunkt) wächst die Population am stärksten, bis sie durch die sich erschöpfenden Ressourcen gebremst wird.

Weitere Anwendungen

Die Logistische Gleichung beschreibt einen sehr häufig auftretenden Zusammenhang und findet weit über die Idee der Beschreibung einer Population von Lebewesen hinaus Anwendung. Auch der Lebenszyklus eines Produktes im Markt kann mit der Logistischen Funktion nachgebildet werden. Weitere Anwendungsbereiche sind Wachstums- und Zerfallsprozesse in der Sprache (Sprachwandelgesetz, Piotrowski-Gesetz) sowie die Entwicklung im Erwerb der Muttersprache (Spracherwerbsgesetz). Eine Anwendung findet die logistische Funktion auch im SI-Modell der mathematischen Epidemiologie.

Lösung der Differentialgleichung

Sei $F:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} :t\mapsto kt(G-t)$. $F$ ist stetig. Es gilt, die Differentialgleichung ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}(t)\,=\,F(f(t))$ zu lösen.

Die Differentialgleichung lässt sich mit dem Verfahren „Trennung der Variablen“ lösen. Es gilt $F(t)\neq 0$ für alle $t\in \mathbb {R}$, also ist die Abbildung $\Phi (t):=\int _{0}^{t}{\frac {1}{F(s)}}\,{\rm {d}}s$ auf den reellen Zahlen wohldefiniert.

Nach der Trennung der Variablen ist die Lösung $f$ der obigen Differentialgleichung also identisch mit der Lösung der Differentialgleichung

$\int _{f(0)}^{f(t)}{\frac {1}{F(s)}}\,\mathrm {d} s=t$.

Durch Partialbruchzerlegung ergibt sich

$\int _{f(0)}^{f(t)}{\frac {1}{F(s)}}\,\mathrm {d} s=\int _{f(0)}^{f(t)}{\frac {1}{ks(G-s)}}\,\mathrm {d} s={\frac {1}{kG}}\int _{f(0)}^{f(t)}\left({\frac {1}{s}}+{\frac {1}{G-s}}\right)\,\mathrm {d} s$

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist das obige Integral

$=\left.{\frac {1}{kG}}{\bigg (}\ln f(s)-\ln(G-f(s)){\bigg )}\right|_{s=f(0)}^{s=f(t)}={\frac {1}{kG}}{\bigg (}\ln {\big (}{\frac {f(t)}{G-f(t)}}{\big )}+c{\bigg )}$

wobei

$c:=-\ln {\frac {f(0)}{G-f(0)}}=\ln {\big (}{\frac {G}{f(0)}}-1{\big )}$

Es gilt also, die Funktionsgleichung

$\ln {\frac {f(t)}{G-f(t)}}=kGt-c$

zu lösen, solange die $f(t)$ zwischen $0$ und $G$ liegen, was wegen der Voraussetzung $0<f(0)<G$ angenommen werden kann. Dabei ist $\ln$ der natürliche Logarithmus. Die Anwendung der Exponentialfunktion auf beiden Seiten führt zu

$e^{kGt-c}\,=\,{\frac {f(t)}{G-f(t)}}$.

und anschließende Kehrwertbildung zu

$(*)\quad \quad \quad e^{-kGt+c}\,=\,{\frac {G-f(t)}{f(t)}}\,=\,{\frac {G}{f(t)}}-1$.

Wir bringen nun die $1$ auf die linke Seite, bilden dann erneut den Kehrwert, und erhalten schließlich

${\frac {f(t)}{G}}\,=\,{\frac {1}{1+e^{-kGt+c}}}$

und daraus

$(**)\quad \quad \quad f(t)\,=\,G\cdot {\frac {1}{1+e^{-kGt+c}}}$

Setzen wir die Definition von $c$ in die gefundene Lösung (**) ein, so kommen wir zur oben behaupteten Lösung der logistischen Differentialgleichung:

$f(t)\,=\,G\cdot {\frac {1}{1+e^{-kGt-c}}}\,=\,G\cdot {\frac {1}{1+e^{-kGt}e^{c}}}\,=\,G\cdot {\frac {1}{1+e^{-kGt}\left({\frac {G}{f(0)}}-1\right)}}$

An dieser Funktionsgleichung liest man leicht ab, dass die Werte immer zwischen $0$ und $G$ liegen, weshalb die Lösung für alle $-\infty <t<\infty$ gilt. Das kann man im Nachhinein natürlich auch durch Einsetzen in die Differentialgleichung bestätigen.

Berechnung des Wendepunkts

Zur Bestimmung des Wendepunktes der Lösungsfunktion $f$ bestimmen wir zunächst mittels Produktregel die Ableitungen

${\begin{aligned}f'(t)&=k\cdot f(t)\cdot (G-f(t))\\f''(t)&=k\cdot f'(t)\cdot (G-f(t))+k\cdot f(t)\cdot (-f'(t))\\&=k\cdot f'(t)\cdot (G-f(t)-f(t))=k\cdot f'(t)\cdot (G-2\cdot f(t))\end{aligned}}$

und bestimmen die Nullstelle $t_{W}$ der zweiten Ableitung:

$f''(t_{W})=k\cdot f'(t_{W})\cdot (G-2\cdot f(t_{W}))=0$

$G-2\cdot f(t_{W})=0$

$G=2\cdot f(t_{W})$

$f(t_{W})={\tfrac {G}{2}}$

Damit kennen wir den Funktionswert im Wendepunkt und stellen fest, dass die Population im Wendepunkt gerade die halbe Sättigungsgrenze überschreitet. Zur Bestimmung von $t_{W}$ verwenden wir für $f(t_{W})={\tfrac {G}{2}}$ die Lösungsformel und rechnen wie folgt:

$G\cdot {\frac {1}{1+e^{-k\cdot G\cdot t_{W}}\cdot e^{c}}}={\frac {G}{2}}$

$1+e^{-k\cdot G\cdot t_{W}}\cdot e^{c}=2$

$e^{-k\cdot G\cdot t_{W}}\cdot e^{c}=1=e^{0}$

$-k\cdot G\cdot t_{W}+c=0$

$t_{w}={c \over k\cdot G}$;

Für $\textstyle G>f(0)$ folgt mit $\textstyle e^{c}={\frac {G}{f(0)}}-1\Rightarrow c=ln\left({\frac {G}{f(0)}}-1\right)$ weiter:

$t_{W}={\frac {\ln \left({\frac {G}{f(0)}}-1\right)}{k\cdot G}}$

Damit ist der Wendepunkt vollständig bestimmt und es gibt nur diesen einen. Durch Einsetzen von $f(t_{W})={\tfrac {G}{2}}$ in die erste Ableitung erhält man die maximale Wachstumsgeschwindigkeit:

$f'(t_{W})=k\cdot {\frac {G}{2}}\cdot \left(G-{\frac {G}{2}}\right)=k\cdot {\frac {G}{2}}\cdot {\frac {G}{2}}$

$f'(t_{W})={\frac {k\cdot G^{2}}{4}}$

Weitere Darstellungen

$f(t)=G\cdot {\frac {1}{1+e^{-k\cdot G\cdot t}\left({\frac {G}{f(0)}}-1\right)}}$

$=G\cdot {\frac {1}{1+e^{-k\cdot G\cdot t}\cdot {\frac {G}{f(0)}}-e^{-k\cdot G\cdot t}}}\cdot {\frac {f(0)}{f(0)}}={\frac {G\cdot f(0)}{f(0)+e^{-k\cdot G\cdot t}\cdot G-e^{-k\cdot G\cdot t}\cdot f(0)}}$

$={\frac {G\cdot f(0)}{f(0)+\left(G-f(0)\right)\cdot e^{-k\cdot G\cdot t}}}$

oder auch:

$f(t)={\frac {G}{2}}\cdot \left(\tanh \left({\frac {kG}{2}}(t-t_{W})\right)+1\right)$, wobei $t_{W}$ die oben berechnete Wendestelle ist: $t_{W}={\frac {\ln \left({\frac {G}{f(0)}}-1\right)}{k\cdot G}}$

Siehe auch

• Logistische Regression

Literatur

• Nicholas F. Britton: Essential Mathematical Biology. 3. printing. Springer, London u. a. 2005, ISBN 1-85233-536-X, (Springer undergraduate mathematics series).
• Norman R. Draper, Harry Smith: Applied Regression Analysis. 3rd Edition. Wiley-Interscience, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-471-17082-8, (Wiley Series in Probability and Statistics. Texts and References Section).
• Volker Oppitz, Volker Nollau: Taschenbuch Wirtschaftlichkeitsrechnung. Quantitative Methoden der ökonomischen Analyse. Carl Hanser Verlag, München u. a. 2004, ISBN 3-446-22463-7.
• Volker Oppitz: Gabler-Lexikon Wirtschaftlichkeitsrechnung. Mit Anwendersoftware für Praxis und Studium. Gabler-Verlag Wiesbaden 1995, ISBN 3-409-19951-9
• Peter Schönfeld: Methoden der Ökonometrie. 2 Bände. Vahlen, Berlin u. a. 1969–1971.