Treuer Funktor

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Treue Funktoren und die hier ebenfalls zu besprechenden vollen und volltreuen Funktoren, die eng damit zusammenhängen, sind in der mathematischen Theorie der Kategorientheorie betrachtete Funktoren mit speziellen Eigenschaften.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Funktor zwischen zwei Kategorien und . Ein solcher Funktor ordnet definitionsgemäß jedem Objekt und jedem Morphismus aus , wobei und Objekte aus seien, ein Objekt beziehungsweise einen Morphismus zu, wobei gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind.

Zu jedem Paar von Objekten aus hat man (im Falle von lokal kleinen Kategorien) eine Abbildung

Man nennt den Funktor treu (bzw. voll bzw. volltreu), wenn die Abbildungen für jedes Paar von Objekten aus injektiv (bzw. surjektiv bzw. bijektiv) sind. An Stelle von volltreu findet man auch die Bezeichnung völlig treu.

Einbettungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Funktor, so beziehen sich die Begriffe treu, voll und volltreu nur auf Morphismenmengen zwischen je zwei Objekten, sie beziehen sich nicht auf die Klassen aller Objekte bzw. aller Morphismen, insbesondere sagt die Treue des Funktors nicht notwendigerweise aus, dass eine der Abbildungen

injektiv ist. Um den Zusammenhang dieser Begriffe und die Verwendung obiger Definitionen zu beleuchten, wird hier die folgende einfache Aussage bewiesen:

  • Wenn der Funktor treu ist, so ist genau dann injektiv, wenn injektiv ist.

Ist injektiv und sind mit , so folgt , also nach Voraussetzung und damit . Daher ist injektiv.

Sei nun umgekehrt injektiv, und seien mit . Es ist zu zeigen. Zu den Morphismen und gehören Objekte aus der Kategorie mit und . Aus folgt und . Weil nach Voraussetzung injektiv ist, erhalten wir und . Daher ist und die Treue von liefert, wie gewünscht, .

Man nennt einen Funktor eine Einbettung, wenn injektiv ist. Für einen treuen Funktor ist die Einbettungseigenschaft nach Obigem äquivalent zur Injektivität von .

Ist der Funktor eine Einbettung, so bilden die Objekte mit den Morphismen , eine Unterkategorie von , die mit bezeichnet wird. Da das für beliebige Funktoren, die keine Einbettungen sind, im Allgemeinen nicht der Fall ist, spielen Einbettungen eine wichtige Rolle in der Kategorientheorie.

Volltreue Funktoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist der Funktor eine Einbettung, und ist ein voller Funktor, so ist eine volle Unterkategorie von . Dies motiviert die Bezeichnung voller Funktor in obigen Definitionen. Ist also ein volltreuer Funktor, so dass injektiv ist, so definiert eine Einbettung auf eine volle Unterkategorie.

Volltreue Funktoren sind auch wegen der folgenden Aussage wichtig für die Kategorientheorie:

  • Seien ein volltreuer Funktor und ein Morphismus der Kategorie . Dann gilt: ist Isomorphismus ist Isomorphismus.

Die Richtung von links nach rechts ist sehr einfach. Ist nämlich Isomorphismus, so gibt es definitionsgemäß einen weiteren Morphismus mit und . Da Funktor ist, folgt und genauso , das heißt, ist ein Isomorphismus.

Die Volltreue wird für die Umkehrung benötigt. Ist nämlich ein Isomorphismus, so gibt es einen Morphismus mit und . Da voll ist, gibt es einen Morphismus mit . Dann folgt und genauso . Wegen der Treue von folgt nun und , das heißt, ist ein Isomorphismus.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]