Surjektivität

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Eine surjektive Funktion; X ist die Definitionsmenge und Y die Zielmenge.

Surjektivität (surjektiv) oder Rechtstotalität (rechtstotal; in der Sprache der Relationen) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird, also mindestens ein Urbild hat. Eine Funktion ist bezüglich ihrer Bildmenge immer surjektiv. Eine surjektive Funktion wird auch als Surjektion bezeichnet.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien und Mengen, sowie eine Abbildung.

heißt surjektiv, wenn für alle aus mindestens ein aus mit existiert. Eine solche Abbildung kann wie folgt geschrieben werden: .

Formal:

Grafische Veranschaulichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiele und Gegenbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die leere Funktion in eine einelementige Menge ist das wohl einfachste Beispiel einer nicht-surjektiven Funktion.
  • Die Funktion mit ist surjektiv, denn für jede reelle Zahl gibt es ein Urbild. Aus der Gleichung erhält man nämlich durch Äquivalenzumformung die Gleichung womit sich für jedes ein Urbild berechnen lässt.
  • Die Sinus-Funktion ist surjektiv. Jede horizontale Gerade mit schneidet den Graphen der Sinusfunktion mindestens einmal (sogar unendlich oft).
  • Die Sinus-Funktion ist jedoch nicht surjektiv, da z. B. die Gerade keinen Schnittpunkt mit dem Graphen hat, der Wert 2 also nicht als Funktionswert angenommen wird.
  • bezeichne die Menge der komplexen Zahlen.
ist nicht surjektiv, da z. B. kein Urbild hat.
ist surjektiv.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Man beachte, dass die Surjektivität einer Funktion nicht nur vom Funktionsgraphen sondern auch von der Zielmenge abhängt (im Gegensatz zur Injektivität, welche man am Funktionsgraphen ablesen kann).
  • Eine Funktion ist genau dann surjektiv, wenn für alle .
  • Sind die Funktionen und surjektiv, dann gilt dies auch für die Komposition (Verkettung)
  • Aus der Surjektivität von folgt, dass surjektiv ist.
  • Eine Funktion ist genau dann surjektiv, wenn eine Rechtsinverse hat, also eine Funktion mit (wobei die identische Abbildung auf bezeichnet). Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom der Mengenlehre.
  • Eine Funktion ist genau dann surjektiv, wenn rechtskürzbar ist, also für beliebige Funktionen mit schon folgt. (Diese Eigenschaft motiviert den in der Kategorientheorie verwendeten Begriff Epimorphismus.)
  • Jede beliebige Funktion ist darstellbar als Verkettung , wobei surjektiv und injektiv ist. hat dabei die Bildmenge von als Zielmenge und stimmt ansonsten mit überein (hat denselben Funktionsgraphen).

Mächtigkeiten von Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine endliche Menge ist die Mächtigkeit einfach die Anzahl der Elemente von . Ist nun eine surjektive Funktion zwischen endlichen Mengen, dann kann höchstens so viele Elemente wie haben, es gilt also

Für unendliche Mengen wird der Größenvergleich von Mächtigkeiten zwar mit Hilfe des Begriffs Injektion definiert, aber auch hier gilt: Ist surjektiv, dann ist die Mächtigkeit von kleiner oder gleich der Mächtigkeit von ebenfalls geschrieben als

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]