Ungleichung von Pedoe

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Die Ungleichung von Pedoe, benannt nach Daniel Pedoe, ist eine geometrische Aussage über die Seitenlängen und die Flächeninhalte zweier Dreiecke.

Sind a, b und c die Seitenlängen eines Dreiecks mit dem Flächeninhalt f und A, B und C die Seitenlängen eines weiteren Dreiecks mit dem Flächeninhalt F, so gilt folgende Ungleichung:

Dabei gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn die beiden Dreiecke ähnlich zueinander sind.

Man beachte, dass der Rechenausdruck auf der linken Seite nicht nur bezüglich der sechs Permutationen der Menge { (A,a), (B,b), (C,c) } von geordneten Paaren symmetrisch ist, sondern auch — vielleicht weniger offensichtlich — bezüglich der Vertauschung von A mit a, B mit b und C mit c. Mit anderen Worten: Es handelt sich um eine symmetrische Funktion des gegebenen Paares von Dreiecken.

Diese Ungleichung verallgemeinert die Ungleichung von Weitzenböck und die Ungleichung von Hadwiger–Finsler.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Daniel Pedoe: A Two-Triangle Inequality, In The American Mathematical Monthly, Vol. 70, Nr. 9, S. 1012, November 1963.
  • Daniel Pedoe: An Inequality for Two Triangles, In Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Vol. 38, Teil 4, S. 397, 1943.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]