Wendepunkt

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Wendepunkt (Begriffsklärung) aufgeführt.
Wendepunkt

In der Mathematik ist ein Wendepunkt ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert: Der Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt. Die Ermittlung von Wendepunkten ist Bestandteil einer Kurvendiskussion.

Ein Wendepunkt an der Wendestelle liegt vor, wenn die Krümmung des Funktionsgraphen an der Stelle ihr Vorzeichen wechselt. Daraus lassen sich verschiedene hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten ableiten. Ein Kriterium fordert, dass die zweite Ableitung der differenzierbaren Funktion an der Stelle ihr Vorzeichen wechselt. Andere Kriterien fordern nur, dass die zweite Ableitung der Funktion null ist und dass bestimmte höhere Ableitungen ungleich null sind.

Betrachtet man die zweite Ableitung einer Funktion als „Anstieg ihres Anstiegs“, lassen sich ihre Wendestellen auch als Extremstellen, das heißt Maxima oder Minima, ihres Anstiegs (ihrer Steigung) interpretieren.

Tangenten durch einen Wendepunkt (im Bild rot gezeichnet) heißen Wendetangenten. Wendepunkte, in denen diese Wendetangenten horizontal verlaufen, werden Sattel-, Terrassen- oder Horizontalwendepunkte genannt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein offenes Intervall und eine stetige Funktion. Man sagt habe in einen Wendepunkt, wenn es Intervalle und gibt, so dass entweder

  • in konvex und in konkav ist, oder dass
  • in konkav und in konvex ist.

Anschaulich bedeutet dies, dass der Graph der Funktion im Punkt das Vorzeichen seiner Krümmung ändert. Die Krümmung einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion wird durch ihre zweite Ableitung beschrieben.

Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden wird angenommen, dass die Funktion hinreichend oft differenzierbar ist. Gilt dies nicht, so sind die folgenden Kriterien bei der Suche nach Wendepunkten nicht anwendbar. Zuerst wird ein notwendiges Kriterium vorgestellt, das heißt jede zweimal stetig differenzierbare Funktion muss dieses Kriterium an einer Stelle erfüllen, damit unter Umständen an diesem Punkt ein Wendepunkt vorliegt. Danach werden einige hinreichende Kriterien angegeben. Sind diese Kriterien erfüllt, so liegt sicher ein Wendepunkt vor, jedoch gibt es auch Wendepunkte, die diese hinreichenden Kriterien nicht erfüllen.

Notwendiges Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

sei eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, dann beschreibt, wie in der Definition schon angemerkt, die zweite Ableitung die Krümmung der Funktion. Da ein Wendepunkt ein Punkt ist, an dem sich das Vorzeichen der Krümmung ändert, muss die zweite Ableitung der Funktion an diesem Punkt Null sein. Es gilt also:

Ist eine Wendestelle, so ist .

Hinreichendes Kriterium ohne Verwendung der dritten Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei Kurvendiskussionen wird in der Regel eine der beiden folgenden hinreichenden Bedingungen verwendet. In der ersten Bedingung kommt nur die zweite Ableitung vor; dafür muss das Vorzeichen von für und für untersucht werden.

Wechselt vom Negativen ins Positive, so ist Rechts-links-Wendestelle. Wenn an vom Positiven ins Negative wechselt, so ist eine Links-rechts-Wendestelle.

Hinreichendes Kriterium unter Verwendung der dritten Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Die Funktion f(x)=x4-x ist die zweite Ableitung bei x=0 gleich Null aber (0,0) ist kein Wendepunkt da auch die dritte Ableitung gleich Null ist und die vierte Ableitung ungleich Null ist.

In der zweiten für einen Wendepunkt hinreichenden Bedingung wird auch die dritte Ableitung benötigt, allerdings nur an der Stelle selbst. Diese Bedingung wird vor allem dann verwendet, wenn die dritte Ableitung leicht zu ermitteln ist. Der Hauptnachteil gegenüber der schon erläuterten Bedingung liegt darin, dass im Falle keine Entscheidung getroffen werden kann.

Genauer folgt aus und , dass bei ein Minimum des Anstiegs, also eine Rechts-links-Wendestelle besitzt, während sie umgekehrt für und bei ein Maximum des Anstiegs, also eine Links-rechts-Wendestelle aufweist.

Hinreichendes Kriterium unter Verwendung weiterer Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist die Funktion hinreichend oft differenzierbar, kann auch im Falle eine Entscheidung getroffen werden. Dies basiert auf der Entwicklung von an der Stelle mittels der Taylor-Formel: [1]

Diese allgemeinere Formulierung enthält damit auch schon den vorangegangenen Fall: Beginnend mit der dritten Ableitung wird die nächste von Null verschiedene Ableitung gesucht, und falls dies eine Ableitung ungerader Ordnung ist, handelt es sich um eine Wendestelle.

Oder ganz allgemein formuliert: Ist die erste von Null verschiedene Ableitung der Funktion an der Stelle , an der ist, eine Ableitung ungerader Ordnung > 2, besitzt damit an dieser Stelle einen Wendepunkt.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dann ist die zweite Ableitung der Funktion gegeben durch:

Eine Wendestelle muss die Bedingung

bzw.

erfüllen. Daraus folgt . Um zu klären, ob an dieser Stelle tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt, untersucht man nun auch die dritte Ableitung:

Aus ist zu schließen, dass es sich um einen Wendepunkt handelt. Diese Tatsache ist auch ohne Verwendung der dritten Ableitung zu erkennen: Wegen für und für ändert sich das Krümmungsverhalten; daher muss ein Wendepunkt vorliegen.

Die -Koordinate dieses Wendepunkts erhält man durch Einsetzen von in die Funktionsgleichung.

Die Gleichung der Wendetangente kann bestimmt werden, indem man die x-Koordinate des Wendepunktes (2) in die erste Ableitung einsetzt. Somit erhält man die Steigung (m). Danach setzt man in die Funktionsbestimmung (y = mx + b) die ermittelte x- & y-Koordinate des Wendepunkts und den m- (Steigungs-) Wert ein. Man erhält dann den Schnittpunkt mit der y-Achse (b) und somit die komplette Gleichung der Wendetangente.

Wendetangente:

Besondere Fälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Graph der Funktion ändert bei sein Krümmungsverhalten (Übergang von Rechts- in Linkskrümmung). Die erste Ableitung an der Stelle existiert nicht, der obige Formalismus ist damit nicht anwendbar. Dennoch hat die Funktion bei einen Wendepunkt.

Der Graph der Funktion mit der Gleichung im positiven und im negativen Bereich und bei , d.h. , hat zwar eine erste, aber keine zweite Ableitung an der Stelle , gleichwohl liegt ein Wendepunkt vor.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Flachpunkt, ein Punkt an dem ist (bzw. an dem ist, aber sich das Krümmungsverhalten nicht ändert - je nach Definition)

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Wendepunkt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. W.Gellert, H.Küstner, M.Hellwich, H.Kästner: Kleine Enzyklopädie Mathematik; Leipzig 1970, S.433–434.