Zellkomplex

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Ein Zellkomplex oder CW-Komplex ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der algebraischen Topologie. Es ist eine Verallgemeinerung des Simplizialkomplexes und wurde 1949 von John Henry Constantine Whitehead eingeführt.[1]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine -Zelle ist ein topologischer Raum, der zu homöomorph ist. Eine offene -Zelle ist ein topologischer Raum, der zum Inneren von homöomorph ist. nennt man die Dimension der Zelle.

Ein Zellkomplex oder auch CW-Komplex (closure-finite weak-topology) ist ein Hausdorff-Raum , der in offene Zellen zerfällt, wobei gilt:

  1. zu jeder -Zelle existiert eine stetige Abbildung so dass das Innere von homöomorph auf und der Rand in eine Vereinigung von endlich vielen Zellen der Dimension abgebildet wird. ( heißt die charakteristische Abbildung der Zelle .)
  2. ist genau dann abgeschlossen, wenn für alle abgeschlossen ist.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder CW-Komplex ist normal, erfüllt aber nicht unbedingt das erste Abzählbarkeitsaxiom, ist also nicht unbedingt metrisierbar. Jeder CW-Komplex ist lokal zusammenziehbar.

In zusammenhängenden CW-Komplexen gilt der Satz von Whitehead über die Homotopieäquivalenz.

Ein CW-Komplex ist der Kolimes seiner endlichen Unterkomplexe.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jeder Simplizialkomplex ist ein CW-Komplex.
  • ist ein CW-Komplex. Betrachte die Zellen und die charakteristischen Abbildungen .

Zelluläre Abbildungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das -Skelett eines CW-Komplexes ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimension .

Eine CW-Abbildung (oder zelluläre Abbildung) ist eine stetige Abbildung , die jede -Zelle von in das -Skelett von abbildet. (Dabei müssen -Zellen nicht notwendig auf -Zellen abgebildet werden.)

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. J. H. C. Whitehead: Combinatorial homotopy, Bull. Amer. Math. Soc., Band 55, 1949, 213–245 (Teil 1), S. 453–496 (Teil 2)