Zugeordnete Legendrepolynome

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Bei zugeordneten Legendrepolynomen bzw. assoziierten Legendrepolynomen, auch zugeordnete Kugelfunktionen genannt, handelt es sich um Funktionen, die in der Mathematik und theoretischen Physik verwendet werden. Da nicht alle zugeordneten Legendrepolynome wirklich Polynome sind, sprechen viele Autoren auch von zugeordneten bzw. assoziierten Legendrefunktionen.

Die zugeordneten Legendrepolynome sind die Lösungen der allgemeinen Legendregleichung:

Diese gewöhnliche Differentialgleichung hat nicht-singuläre Lösungen im Intervall nur dann, wenn und ganzzahlig sind mit .

Man begegnet der allgemeinen Legendregleichung (und damit den zugeordneten Legendrepolynomen) häufig in der Physik, insbesondere wenn eine sphärische Symmetrie vorliegt, wie beispielsweise im Zentralpotential. Hier lassen sich die Laplacegleichung sowie verwandte partielle Differentialgleichungen oft auf die allgemeine Legendregleichung zurückführen. Das prominenteste Beispiel hierfür ist die quantenmechanische Lösung der Energiezustände des Wasserstoffatoms.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die zugeordneten Legendrepolynome werden als bezeichnet. Am einfachsten lassen sie sich als Ableitungen von gewöhnlichen Legendrepolynomen definieren:

wobei das -te Legendrepolynom ist

.

Daraus ergibt sich

Zusammenhang mit Legendrepolynomen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die verallgemeinerte Legendregleichung geht für in die Legendregleichung über, sodass gilt.

Orthogonalität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die zugeordneten Legendrepolynome gelten im Intervall I = [-1,1] zwei Orthogonalitätsrelationen:

Das zweite Integral ist allerdings nur definiert, wenn entweder m oder n ungleich 0 ist.

Zusammenhang mit der Einheitskugel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Am wichtigsten ist der Fall . Die zugeordnete Legendre-Gleichung lautet dann

Da nach der Substitutionsregel

gilt, übertragen sich obige Orthogonalitätsrelationen ohne weiteres auf die Einheitskugel.

Über werden die sog. Kugelflächenfunktionen definiert als

welche auf der Einheitskugel ein vollständiges Orthonormalsystem bilden.

Die ersten zugeordneten Legendrepolynome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ersten zugeordneten Legendrepolynome

Für die zugeordneten Legendrepolynome gilt folgende Rekursionsformel

Die ersten Legendrepolynomen bestimmen sich damit zu

Und mit als Argument

Zugeordnete Legendrefunktionen 2. Art[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ähnlich wie bei der Legendreschen Gleichung stellen die zugeordneten Legendrepolynome nur eine Gruppe von Lösungsfunktionen der verallgemeinerten Legendreschen Gleichung dar. Die zugeordneten Legendrefunktionen 2. Art stellen ebenso Lösungen dar. Auch für sie gilt mit den Legendrefunktionen 2. Art .

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]