Integration durch Substitution

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Die Integration durch Substitution oder Substitutionsregel ist eine wichtige Methode in der Integralrechnung, um Stammfunktionen und bestimmte Integrale zu berechnen. Durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen wird ein Teil des Integranden ersetzt, um das Integral zu vereinfachen und so letztlich auf ein bekanntes oder einfacher handhabbares Integral zurückzuführen.

Die Kettenregel aus der Differentialrechnung ist die Grundlage der Substitutionsregel. Ihr Äquivalent für Integrale über mehrdimensionale Funktionen ist der Transformationssatz, der allerdings eine bijektive Substitutionsfunktion voraussetzt.

Aussage der Substitutionsregel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein reelles Intervall, eine stetige Funktion und stetig differenzierbar. Dann ist

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Stammfunktion von . Nach der Kettenregel gilt für die Ableitung der zusammengesetzten Funktion

Durch zweimalige Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erhält man damit die Substitutionsregel:

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir betrachten:

Das Ziel ist es, den Teilterm des Integranden zur Integrationsvariable zu vereinfachen. Dies geschieht durch Anwendung der Substitutionsregel. Dazu multipliziert man zuerst den Integrand mit und ersetzt in einem zweiten Schritt anschließend überall die Integrationsvariable mit . In einem letzten Schritt werden noch die Integrationsgrenzen und durch bzw. ersetzt.

Man bildet also

Wegen der Übersichtlichkeit geht man in der Praxis häufig zu einer neuen Integrationsvariable über z. B. von zu . Dann lautet die Umkehrfunktion und das Differential wird von zu und man erhält den formal gleichwertigen Ausdruck:

Hat man die Stammfunktion gefunden, kann man sie direkt mit den Grenzen und auswerten oder die Stammfunktion zum ursprünglichen Integranden als bilden.

Das gleiche können wir auch rückwärts durchführen und wenden die Substitutionsregel auf

an. Dann muss die Integrationsvariable durch den Term von ersetzt werden und multipliziert anschließend den Integrand mit . Zuletzt wendet man auf die Integrationsgrenzen an.

Substitution eines bestimmten Integrals[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Berechnung des Integrals

für eine beliebige reelle Zahl : Durch die Substitution erhält man , also , und damit:

.

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Berechnung des Integrals

:

Durch die Substitution erhält man , also , und damit

.

Es wird also durch ersetzt und durch . Die untere Grenze des Integrals wird dabei in umgewandelt und die obere Grenze in .

Beispiel 3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Berechnung des Integrals

kann man , also substituieren. Daraus ergibt sich . Mit erhält man

.

Das Ergebnis kann mit partieller Integration oder mit der trigonometrischen Formel

und einer weiteren Substitution berechnet werden. Es ergibt sich

.

Substitution eines unbestimmten Integrals[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Voraussetzungen und Vorgehen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter den obigen Voraussetzungen gilt

Nachdem man eine Stammfunktion der substituierten Funktion bestimmt hat, macht man die Substitution rückgängig und erhält eine Stammfunktion der ursprünglichen Funktion.

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch quadratische Ergänzung und anschließender Substitution , erhält man

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der Substitution erhält man

Man beachte, dass die Substitution nur für bzw. nur für streng monoton ist.

Spezialfälle der Substitution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lineare Substitution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Integrale mit linearen Verkettungen können wie folgt berechnet werden: Ist eine Stammfunktion von , dann gilt

, falls .

Zum Beispiel gilt

,

da und .

Logarithmische Integration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Integrale bei denen der Integrand ein Bruch ist, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist, können sehr einfach mit Hilfe der logarithmischen Integration gelöst werden:

.

Das entspricht einem Spezialfall der Substitutionsmethode mit .

Zum Beispiel gilt

,

da die Ableitung hat.

Eulersche Substitution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach einem Satz von Bernoulli lassen sich alle Integrale des Typs

und

elementar integrieren.

Beispiel:

Durch die Substitution also , , und ergibt sich

.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1, 5. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-42221-2, S. 464
  • Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 200–201

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]